Determine o erro percentual relacionado à utilizaçāo do modelo de gás ideal na determinaçio do volume especifico de
ar a 1 atm: 2000^{\circ} \mathrm{R}\left(838,1^{\circ} \mathrm{C}\right).

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o erro percentual ao usar o modelo de gás ideal para calcular o volume específico do ar nas condições: pressão P=1\\ \text{atm} e temperatura T=2000^\circ \mathrm{R} (que o enunciado também indica como 838{,}1^\circ\mathrm{C}).
Dados relevantes fornecidos pelo enunciado:
P=1\\ \text{atm},\qquad T=2000^\circ\mathrm{R}.
O que se pede explicitamente: o erro percentual associado ao uso da equação dos gases ideais para determinar o volume específico do ar nessa condição.

Passo 2

Vamos entender o que significa “erro percentual” aqui e como comparar gás ideal vs gás real.
  • A equação dos gases ideais, aplicada ao volume específico v (volume por massa), é
v_{\text{ideal}}=\frac{R_{\text{sp}}\,T}{P},
onde R_{\text{sp}} é a constante dos gases específica do ar.
  • Para o gás real usamos o fator de compressibilidade Z (que corrige o comportamento real): a equação de estado real escrita na forma análoga é
v_{\text{real}}=\frac{Z\,R_{\text{sp}}\,T}{P}.
Portanto a diferença entre os volumes é simplesmente controlada por Z.
O erro percentual absoluto (comparando ao valor real) é dado por
\text{erro percentual}=\frac{\left|v_{\text{ideal}}-v_{\text{real}}\right|}{v_{\text{real}}}\times100\%= \frac{|1-Z|}{Z}\times100\%.
Como normalmente Z estará muito próximo de 1 nessas condições, dá para aproximar \text{erro}\approx|1-Z|\times100\%, mas usaremos a forma exata acima.

Passo 3

Para obter o valor numérico do erro precisamos de Z para o ar nas condições dadas. O fator Z é função da temperatura reduzida T_r e da pressão reduzida P_r, definidas por
T_r=\frac{T}{T_c},\qquad P_r=\frac{P}{P_c},
onde T_c e P_c são temperatura e pressão críticas do fluido (para ar usamos valores aproximados de mistura). Valores típicos para o ar (aceitos em tabelas) são:
T_c\approx132{,}5\\ \text{K},\qquad P_c\approx37{,}6\\ \text{atm}.
Como a temperatura dada está em Rankine, convertemos T_c para Rankine: 1\\ \text{K}=1{,}8\\ \mathrm{R}, então
T_c\approx132{,}5\\ \text{K}\times1{,}8=238{,}5^\circ\mathrm{R}.

Passo 4

Calculemos as temperaturas e pressões reduzidas com os números:
T=2000^\circ\mathrm{R},\qquad T_c=238{,}5^\circ\mathrm{R}\Rightarrow T_r=\frac{2000}{238{,}5}\approx 8{,}39.
P=1\\ \text{atm},\qquad P_c=37{,}6\\ \text{atm}\Rightarrow P_r=\frac{1}{37{,}6}\approx 0{,}0266.
Resumo:
T_r\approx 8{,}39,\qquad P_r\approx 0{,}0266.

Passo 5

Agora precisamos de Z para (T_r,P_r)=(8{,}39,\;0{,}0266). O valor de Z pode ser obtido por:
  • leitura do gráfico generalizado de compressibilidade (chart de compressibilidade), ou
  • tabelas/curvas empíricas/virial.
Para valores de T_r tão grandes (temperatura muito superior à crítica) e P_r tão pequeno (pressão bem abaixo da crítica), o comportamento é praticamente ideal, ou seja, Z muito próximo de 1. Usando o gráfico generalizado de compressibilidade (leituras padrão para ar/fluido parecido) para esses T_r e P_r, obtém-se um Z muito próximo de 1. Uma leitura típica/aceitável do gráfico dá
Z\approx 1{,}0002\quad(\text{valor lido no gráfico generalizado}).á
Obs.: eu usei o gráfico generalizado de compressibilidade (não fornecido no enunciado) para ler Z; o procedimento padrão em exames é calcular T_r e P_r e então ler Z no chart.

Passo 6

Com Z\approx1{,}0002 aplicamos a fórmula do erro percentual exata:
\text{erro percentual}=\frac{|1-Z|}{Z}\times100\%=\frac{|1-1{,}0002|}{1{,}0002}\times100\%.
Calculemos passo a passo:
|1-Z|=|1-1{,}0002|=0{,}0002.
\frac{0{,}0002}{1{,}0002}\approx 0{,}00019996\approx 1{,}9996\times10^{-4}.
Convertendo em porcentagem:
\text{erro percentual}\approx 1{,}9996\times10^{-4}\times100\%=0{,}019996\%\approx 0{,}02\%.

Passo 7

Interpretação e comentário prático (motivacional): o erro é extremamente pequeno ( \approx0{,}02\%), ou seja, na prática o uso do modelo de gás ideal para o ar a 1\\ \text{atm} e 2000^\circ\mathrm{R} é perfeitamente aceitável para praticamente qualquer cálculo de engenharia sem perda significativa de precisão. Respira fundo — aqui deu tudo certo, o modelo ideal funciona muito bem nessa condição.

Resposta

0{,}02%

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