3.103 Determine a temperatura, em K, do oxigenio
a 250 bar e um volume especifico de
utilizando dados de compressibilidade generalizada e compare com o valor obtido a partir do modelo de gás ideal.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a temperatura do oxigênio
nas condições
e volume específico
usando dados de compressibilidade generalizada; (2) comparar esse valor com o obtido pelo modelo de gás ideal.
Dados fornecidos (ou necessários e tomados de tabelas padrão de propriedades do , que estou usando aqui):
Dados fornecidos (ou necessários e tomados de tabelas padrão de propriedades do
- pressão:
; - volume específico:
; - massa molar do
: (valor padrão); - temperatura crítica:
(valor padrão); - pressão crítica:
(valor padrão); - fator acêntrico:
(valor padrão).
Observações importantes: para usar compressibilidade generalizada precisamos do fator de compressibilidadecorrespondente aos valores reduzidos e . O procedimento habitual é iterativo: chutamos uma (por exemplo a do gás ideal), calculamos , lemos na carta de compressibilidade generalizada (ou usamos um método numérico equivalente), e atualizamos por até convergir. A seguir eu explico o conceito e executo uma solução numérica equivalente (detalhada).
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (aulas rápidas e práticas):
- Definição do fator de compressibilidade:
onde
é a pressão,
é o volume específico (base massa) e
é a constante específica do gás (J/(kg·K)). Reescrevendo para a temperatura:
- Reduções para a correspondência com a carta generalizada (corresponding states):
Na carta generalizada se lê
como função de
(com correções que dependem do fator acêntrico
). O procedimento prático: chutar
, calcular
, ler
, atualizar
com a fórmula acima e iterar até convergir.
- Se você não tem a carta à mão, uma alternativa numérica com fundamentos semelhantes é usar uma equação de estado cúbica (por exemplo Soave–Redlich–Kwong, SRK) para estimar
. A SRK fornece em função de e do volume molar ; invertendo numericamente obtemos para a e dados. Vou usar a SRK como procedimento numérico equivalente à leitura da carta (ela segue a mesma ideia de corresponding states e depende de ). A equação SRK (base molar) é:
onde
é a constante universal dos gases,
é o volume molar, e
Explico:
e
são constantes calculadas a partir de
e
;
contém a dependência com a temperatura reduzida
e o parâmetro
depende do fator acêntrico
. Dado
e
(ou
), resolvemos numericamente para
. Em seguida obtemos
(molar) ou
(massas), como desejar.
Passo 3
Conversões e constantes numéricas (passo a passo, sem pular etapas):
- constante universal dos gases:
- volume molar a partir do volume específico:
- constante específica do gás (base massa), apenas para referência:
(usar
e
nas fórmulas molares evita confusão de unidades.)
Passo 4
Cálculo das constantes da SRK (mostrando contas):
- calcular
e :
Computando numericamente:
- parâmetro
(via ):
Agora estamos prontos para resolver numericamente a equação SRK para
dado
e
.
Passo 5
Iteração numérica (passo a passo) — chute inicial pelo gás ideal e iterações:
- Chute inicial (gás ideal): usar
para obter :
ou, em base molar,
Calculando:
Esse é o valor do modelo do gás ideal (já resolvido). Vamos agora usar SRK para obter o valor real (que é o procedimento numérico análogo a ler
da carta).
2) Avaliação da SRK em :
2) Avaliação da SRK em
-
. -
. -
- calcular
:
Substituindo os números (mostrando os passos):
Logo
Comparando com
,
está abaixo de
; portanto é necessário aumentar
.
3) Tentativa em (verificando sensibilidade):
3) Tentativa em
- repito as contas (somente resultados finais aqui):
Agora
, então a raiz está entre
e
.
4) Interpolação e refinamento (bissecção/linear/interpolação):
4) Interpolação e refinamento (bissecção/linear/interpolação):
- interpolando linearmente entre os dois resultados cheguei a
. Avaliação dessa dá (excesso de ), muito próximo de . Refinando um pouco mais a solução obtém-se com erro residual pequeno (algumas dezenas de kPa ou menos), ou seja convergência prática.
- A partir dessa
convergida calculamos o fator de compressibilidade:
(Se preferir em base massa a fórmula é igual:
e dá o mesmo número.)
Resumo da iteração: o procedimento acima é exatamente o fluxo que se faria ao usar a carta de compressibilidade generalizada: chutar
, obter
, ler
na carta (aqui substituído pela solução SRK), recalcular
por
e iterar até convergir. O valor final obtido por esse procedimento numérico (SRK) foi
com
.
Passo 6
Comparação com o modelo do gás ideal e interpretação física:
- temperatura pelo gás ideal:
- temperatura a partir dos dados de compressibilidade generalizada (aqui estimada numericamente pela SRK, procedimento equivalente a ler
na carta e iterar):
- diferença absoluta e percentual:
Interpretação: a correção real (via
) aumenta a temperatura calculada em cerca de
comparada ao modelo ideal. O fator de compressibilidade
(aqui
) indica um pequeno efeito atrativo líquido das forças intermoleculares às condições dadas, mas muito próximo do comportamento ideal (por isso a diferença é pequena).
Resposta
Temperatura usando compressibilidade generalizada (estimada numericamente via SRK):
Temperatura pelo modelo de gás ideal:
Diferença: (aprox.
).
Temperatura pelo modelo de gás ideal:
Diferença: