3.103 Determine a temperatura, em K, do oxigenio \left(\mathrm{O}_{2}\right) a 250 bar e um volume especifico de 0,003 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg} utilizando dados de compressibilidade generalizada e compare com o valor obtido a partir do modelo de gás ideal.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar a temperatura do oxigênio \left(\mathrm{O}_2\right) nas condições p=250\\ \text{bar} e volume específico v=0{,}003\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} usando dados de compressibilidade generalizada; (2) comparar esse valor com o obtido pelo modelo de gás ideal.
Dados fornecidos (ou necessários e tomados de tabelas padrão de propriedades do \mathrm{O}_2, que estou usando aqui):
  • pressão: \;p=250\\ \text{bar}=25{,}0\times10^6\\ \mathrm{Pa};
  • volume específico: \;v=0{,}003\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg};
  • massa molar do \mathrm{O}_2: \;M=31{,}998\\ \mathrm{g/mol}=0{,}031998\\ \mathrm{kg/mol} (valor padrão);
  • temperatura crítica: \;T_c=154{,}58\\ \mathrm{K} (valor padrão);
  • pressão crítica: \;p_c=5{,}043\times10^6\\ \mathrm{Pa}=50{,}43\\ \text{bar} (valor padrão);
  • fator acêntrico: \;\omega=0{,}021 (valor padrão).
    Observações importantes: para usar compressibilidade generalizada precisamos do fator de compressibilidade Z correspondente aos valores reduzidos \;P_r=p/p_c e \;T_r=T/T_c. O procedimento habitual é iterativo: chutamos uma T (por exemplo a do gás ideal), calculamos \;T_r, lemos Z na carta de compressibilidade generalizada (ou usamos um método numérico equivalente), e atualizamos T por \;T=p v/(Z R) até convergir. A seguir eu explico o conceito e executo uma solução numérica equivalente (detalhada).

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (aulas rápidas e práticas):
  • Definição do fator de compressibilidade:
Z \;=\; \frac{p\,v}{R\,T},
onde p é a pressão, v é o volume específico (base massa) e R é a constante específica do gás (J/(kg·K)). Reescrevendo para a temperatura:
T \;=\; \frac{p\,v}{Z\,R}.
  • Reduções para a correspondência com a carta generalizada (corresponding states):
P_r \;=\; \frac{p}{p_c},\qquad T_r \;=\; \frac{T}{T_c}.
Na carta generalizada se lê Z como função de (P_r,T_r) (com correções que dependem do fator acêntrico \omega). O procedimento prático: chutar T, calcular T_r, ler Z(P_r,T_r), atualizar T com a fórmula acima e iterar até convergir.
  • Se você não tem a carta à mão, uma alternativa numérica com fundamentos semelhantes é usar uma equação de estado cúbica (por exemplo Soave–Redlich–Kwong, SRK) para estimar Z. A SRK fornece p em função de T e do volume molar v_m; invertendo numericamente obtemos T para a p e v_m dados. Vou usar a SRK como procedimento numérico equivalente à leitura da carta (ela segue a mesma ideia de corresponding states e depende de \omega). A equação SRK (base molar) é:
p \;=\; \frac{R_u T}{v_m - b}\;-\;\frac{a\,\alpha(T)}{v_m\,(v_m + b)},
onde R_u é a constante universal dos gases, v_m é o volume molar, e
a \;=\; 0{,}42747\,\frac{R_u^2 T_c^2}{p_c},\qquad b \;=\; 0{,}08664\,\frac{R_u T_c}{p_c},
\alpha(T) \;=\; \bigl[1 + m(1-\sqrt{T_r})\bigr]^2,\qquad m \;=\; 0{,}480 + 1{,}574\,\omega - 0{,}176\,\omega^2.
Explico: a e b são constantes calculadas a partir de T_c e p_c; \alpha contém a dependência com a temperatura reduzida T_r e o parâmetro m depende do fator acêntrico \omega. Dado p e v_m (ou v), resolvemos numericamente para T. Em seguida obtemos Z = p v_m/(R_u T) (molar) ou Z = p v/(R T) (massas), como desejar.

Passo 3

Conversões e constantes numéricas (passo a passo, sem pular etapas):
  • constante universal dos gases:
R_u = 8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • volume molar a partir do volume específico:
v_m \;=\; v \cdot M \;=\; 0{,}003\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}\times 0{,}031998\\ \mathrm{kg/mol} \;=\; 9{,}5994\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.
  • constante específica do gás (base massa), apenas para referência:
R \;=\; \frac{R_u}{M} \;=\; \frac{8{,}314462618}{0{,}031998} \approx 259{,}83\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(usar v_m e R_u nas fórmulas molares evita confusão de unidades.)

Passo 4

Cálculo das constantes da SRK (mostrando contas):
  • calcular a e b:
a \;=\; 0{,}42747\,\frac{R_u^2 T_c^2}{p_c}.
Computando numericamente:
R_u^2 T_c^2 \approx (8{,}3144626)^2 \cdot (154{,}58)^2 \approx 1{,}653\times10^{6},
a \approx 0{,}42747\cdot\frac{1{,}653\times10^{6}}{5{,}043\times10^{6}} \approx 0{,}1403\\ \text{(unidade consistente: Pa·m}^6\text{/mol}^2\text{)}.
b \;=\; 0{,}08664\,\frac{R_u T_c}{p_c} \approx 0{,}08664\cdot\frac{8{,}3144626\cdot154{,}58}{5{,}043\times10^{6}} \approx 2{,}2064\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.
  • parâmetro m (via \omega=0{,}021):
m \;=\; 0{,}480 + 1{,}574\omega - 0{,}176\omega^2 \approx 0{,}480 + 1{,}574(0{,}021) - 0{,}176(0{,}021)^2 \approx 0{,}5130.
Agora estamos prontos para resolver numericamente a equação SRK para T dado p e v_m.

Passo 5

Iteração numérica (passo a passo) — chute inicial pelo gás ideal e iterações:
  1. Chute inicial (gás ideal): usar Z=1 para obter T_{\text{ideal}}:
T_{\text{ideal}} \;=\; \frac{p\,v}{R}
ou, em base molar,
T_{\text{ideal}} \;=\; \frac{p\,v_m}{R_u}.
Calculando:
p\,v_m = 25{,}0\times10^{6}\times 9{,}5994\times10^{-5} \approx 2400\\ \mathrm{J/mol},
T_{\text{ideal}} \approx \frac{2400}{8{,}3144626} \approx 288{,}7\\ \mathrm{K}.
Esse é o valor do modelo do gás ideal (já resolvido). Vamos agora usar SRK para obter o valor real (que é o procedimento numérico análogo a ler Z da carta).
2) Avaliação da SRK em T_0=288{,}7\\ \mathrm{K}:
  • T_r = T_0/T_c \approx 288{,}7/154{,}58 \approx 1{,}868.
  • \sqrt{T_r}\approx 1{,}366.
  • \alpha(T_0) = [1 + m(1-\sqrt{T_r})]^2 \approx [1 + 0{,}5130(1-1{,}366)]^2 \approx 0{,}6599.
  • calcular p_{\text{SRK}}(T_0):
p_{\text{SRK}} \;=\; \frac{R_u T_0}{v_m - b} \;-\; \frac{a\,\alpha(T_0)}{v_m(v_m + b)}.
Substituindo os números (mostrando os passos):
v_m - b \approx 9{,}5994\times10^{-5} - 2{,}2064\times10^{-5} = 7{,}3930\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol},
\frac{R_u T_0}{v_m - b} \approx \frac{8{,}31446\cdot 288{,}7}{7{,}3930\times10^{-5}} \approx 3{,}2468\times10^{7}\\ \mathrm{Pa},
\frac{a\,\alpha}{v_m(v_m + b)} \approx \frac{0{,}1403\cdot 0{,}6599}{(9{,}5994\times10^{-5})(1{,}1805\times10^{-4})} \approx 8{,}173\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Logo
p_{\text{SRK}}(T_0)\approx 3{,}2468\times10^{7}-8{,}173\times10^{6}=2{,}4295\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}=24{,}295\\ \text{MPa}.
Comparando com p=25{,}0\\ \text{MPa}, p_{\text{SRK}}(T_0) está abaixo de p; portanto é necessário aumentar T.
3) Tentativa em T_1=300\\ \mathrm{K} (verificando sensibilidade):
  • repito as contas (somente resultados finais aqui):
\alpha(T_1)\approx 0{,}6377,\quad \frac{R_u T_1}{v_m - b}\approx 3{,}3743\times10^{7}\\ \mathrm{Pa},
\frac{a\alpha}{v_m(v_m+b)}\approx 7{,}901\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},
p_{\text{SRK}}(T_1)\approx 3{,}3743\times10^{7}-7{,}901\times10^{6}=2{,}5842\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}=25{,}842\\ \text{MPa}.
Agora p_{\text{SRK}}(T_1) > p, então a raiz está entre 288{,}7 e 300\\ \mathrm{K}.
4) Interpolação e refinamento (bissecção/linear/interpolação):
  • interpolando linearmente entre os dois resultados cheguei a T\approx 293{,}85\\ \mathrm{K}. Avaliação dessa T p_{\text{SRK}}\approx 25{,}028\\ \text{MPa} (excesso de 28\\ \text{kPa}), muito próximo de 25{,}0\\ \text{MPa}. Refinando um pouco mais a solução obtém-se T\approx 293{,}66\\ \mathrm{K} com erro residual pequeno (algumas dezenas de kPa ou menos), ou seja convergência prática.
  1. A partir dessa T convergida calculamos o fator de compressibilidade:
Z \;=\; \frac{p\,v_m}{R_u T} \;\approx\; \frac{25{,}0\times10^6\cdot 9{,}5994\times10^{-5}}{8{,}31446\cdot 293{,}66} \approx 0{,}983.
(Se preferir em base massa a fórmula é igual: Z=p v/(R T) e dá o mesmo número.)
Resumo da iteração: o procedimento acima é exatamente o fluxo que se faria ao usar a carta de compressibilidade generalizada: chutar T, obter T_r, ler Z na carta (aqui substituído pela solução SRK), recalcular T por T=pv/(Z R) e iterar até convergir. O valor final obtido por esse procedimento numérico (SRK) foi T\approx 293{,}7\\ \mathrm{K} com Z\approx 0{,}983.

Passo 6

Comparação com o modelo do gás ideal e interpretação física:
  • temperatura pelo gás ideal:
T_{\text{ideal}} \;=\; \frac{p\,v}{R} \approx 288{,}7\\ \mathrm{K}.
  • temperatura a partir dos dados de compressibilidade generalizada (aqui estimada numericamente pela SRK, procedimento equivalente a ler Z na carta e iterar):
T_{\text{comp}} \approx 293{,}7\\ \mathrm{K},\qquad Z\approx 0{,}983.
  • diferença absoluta e percentual:
\Delta T \approx 293{,}7 - 288{,}7 \approx 5{,}0\\ \mathrm{K},
\%\\ \text{diferença} \approx \frac{5{,}0}{288{,}7}\times 100\%\approx 1{,}7\%.ç
Interpretação: a correção real (via Z) aumenta a temperatura calculada em cerca de 1{,}7\% comparada ao modelo ideal. O fator de compressibilidade Z<1 (aqui \approx 0{,}983) indica um pequeno efeito atrativo líquido das forças intermoleculares às condições dadas, mas muito próximo do comportamento ideal (por isso a diferença é pequena).

Resposta

Temperatura usando compressibilidade generalizada (estimada numericamente via SRK): \;293{,}7\\ \mathrm{K}.
Temperatura pelo modelo de gás ideal: \;288{,}7\\ \mathrm{K}.
Diferença: \;+5{,}0\\ \mathrm{K} (aprox. +1{,}7\%).

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