3.105 Um tanque contém 10 \mathrm{lb}(4,5 \mathrm{~kg}) de ar a 70^{\circ} \mathrm{F}\left(21,1^{\circ} \mathrm{C}\right) com uma pressâo de 30 \mathrm{tbf} / \mathrm{in}^{2}(206,8 \mathrm{kPa}). Determine o volume do ar, em \mathrm{ft}^{3} Verifique que o comportamento de gás ideal pode ser assumido pelo at sob essas condições.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o volume do ar em \mathrm{ft}^3 e que eu verifique se o comportamento de gás ideal pode ser assumido. Os dados fornecidos são:
\begin{aligned} &\text{massa: } m = 10\\ \mathrm{lb}\\ (4,5\\ \mathrm{kg})\\ \text{(o enunciado já deu a conversão para kg)},\\[4pt] &\text{temperatura: } T_{\text{C}} = 21,1^\circ\mathrm{C},\\[4pt] &\text{pressão: } p = 30\\ \mathrm{lbf/in^2}\\ (206,8\\ \mathrm{kPa}). \end{aligned}áãã
O que preciso entregar:
  • o volume V do ar em \mathrm{ft}^3;
  • justificativa (numérica) se é aceitável usar a hipótese de gás ideal sob essas condições.]

Passo 2

Método escolhido: aplicar a equação dos gases ideais na forma apropriada para massa:
pV = m R T.
Aqui explico cada símbolo com calma:
  • p é a pressão absoluta (em unidades SI usarei \mathrm{Pa});
  • V é o volume total (em \mathrm{m}^3 se usar SI);
  • m é a massa do gás (em \mathrm{kg});
  • R é a constante específica do gás (para o ar seco R \approx 287,05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)});
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
Primeiro converto temperatura para kelvin:
T = T_{\text{C}} + 273,15 = 21,1 + 273,15 = 294,25\\ \mathrm{K}.
E a pressão para pascal (já foi dada em \mathrm{kPa}):
p = 206,8\\ \mathrm{kPa} = 206\,800\\ \mathrm{Pa}.
A massa a usar é m = 4,5\\ \mathrm{kg} (fornecida). A constante R do ar que vou usar é R = 287,05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 3

Agora isolo V na equação dos gases ideais e calculo em unidades SI:
V = \frac{m R T}{p}.
Calculo passo a passo:
R T = 287,05 \times 294,25 \approx 84\,464,46\\ \mathrm{J/(kg)}.
m R T = 4,5 \times 84\,464,46 \approx 380\,090,08\\ \mathrm{J}.
Como 1\\ \mathrm{J} = 1\\ \mathrm{Pa\cdot m^3}, divido por p:
V = \frac{380\,090,08}{206\,800} \approx 1,838\\ \mathrm{m}^3.

Passo 4

Agora converto o volume de \mathrm{m}^3 para \mathrm{ft}^3. A relação é
1\\ \mathrm{m}^3 = 35,3146667\\ \mathrm{ft}^3.
Portanto
V = 1,838\\ \mathrm{m}^3 \times 35,3146667\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{m}^3 \approx 64,91\\ \mathrm{ft}^3.
Arredondando com razão, posso usar V \approx 64,9\\ \mathrm{ft}^3.

Passo 5

Verificação da validade da hipótese de gás ideal (explicação e critério):
  • Uma maneira prática é comparar a pressão com a pressão crítica e a temperatura com a temperatura crítica do ar. Valores aproximados para o ar são \displaystyle p_c \approx 3{,}773\\ \mathrm{MPa} e \displaystyle T_c \approx 132{,}5\\ \mathrm{K}.
  • Calculo a pressão reduzida P_r e a temperatura reduzida T_r:
P_r = \frac{p}{p_c} = \frac{206{,}8\\ \mathrm{kPa}}{3{,}773{,}0\\ \mathrm{kPa}} \approx 0{,}0548,
T_r = \frac{T}{T_c} = \frac{294{,}25\\ \mathrm{K}}{132{,}5\\ \mathrm{K}} \approx 2{,}22.
Interpretação didática e intuitiva: quando P_r é muito menor que 0{,}1 e T_r é bem maior que 1, o gás está longe das condições críticas e o fator de compressibilidade Z está muito próximo de 1. Aqui P_r\approx 0{,}055 (bem pequeno) e T_r\approx 2{,}22 (bem maior que 1), portanto as correções de comportamento real são negligenciáveis e o ar pode ser considerado ideal sob essas condições.

Resposta

V \approx 64{,}9\\ \mathrm{ft}^3
Sim — pode-se assumir comportamento de gás ideal ( P_r \approx 0{,}055,\\ T_r \approx 2{,}22, portanto Z\approx 1 ).

Exercícios relacionados