( 3,5 pontos) Considere uma montagem pistão-cilindro bem isolada contendo água em seu interior. Inicialmente, o sistema é mantido a 10000 kPa e possui volume total de 1,65 \mathrm{~m}^{3}. Através de um processo de expansão, a água é levada a um estado
termodinâmico final em que apresenta qualidade de 65 \%, pressão de 3000 kPa , e ocupa um volume total de 6,0 \mathrm{~m}^{3}.
a. ( 2,5 pontos) Qual o trabalho produzido durante esse processo?
b. ( 1,0 pontos) Qual a \Delta \mathrm{S}_{\text {universo }} nesse processo?

Passo 1

Dados fornecidos (vou copiar tudo certinho para a gente não se perder):
p_1 = 10000\\ \text{kPa},\qquad V_1 = 1{,}65\\ \text{m}^3
p_2 = 3000\\ \text{kPa},\qquad x_2 = 0{,}65,\qquad V_2 = 6{,}0\\ \text{m}^3
O sistema é um pistão-cilindro bem isolado (ou seja, adiabático; não troca calor com as vizinhanças).
Perguntas do enunciado:
a) Qual o trabalho produzido durante o processo?
b) Qual o \Delta S_{\text{universo}} nesse processo?
Observações importantes (só listar, sem resolver ainda): teremos de usar propriedades termodinâmicas da água (vf, vg, uf, ug, sf, sg, etc.) em duas pressões diferentes ( p_1 e p_2). Essas propriedades vêm de tabelas de vapor saturado e, se necessário, de tabelas para líquido comprimido ou vapor superaquecido. Vou indicar exatamente quando e como usar essas tabelas.

Passo 2

Estratégia geral (passo prático): primeiro determinar a massa m do fluido no cilindro (é constante, sistema fechado). Depois obter as energias internas específicas u_1 e u_2 e entropias específicas s_1 e s_2 nos estados inicial e final — isso é feito consultando as tabelas de vapor saturado/estados correspondentes. Com isso aplicamos a 1ª Lei e definimos o trabalho e a variação de entropia.
Agora ensino como obter a massa: no estado final sabemos que é uma mistura saturada a p_2 com qualidade x_2. A vol. específico no estado final é
v_2 = v_{f,2} + x_2\,(v_{g,2}-v_{f,2})
onde v_{f,2} e v_{g,2} são, respectivamente, os volumes específicos do líquido saturado e do vapor saturado à pressão p_2. Então a massa é
m = \frac{V_2}{v_2}.
Explicação didática: as tabelas nos dão v_f e v_g em cada pressão de saturacão; como temos a fração mássica de vapor x_2, a média ponderada dá o volume específico médio da mistura. Multiplicando pelo número de quilos dá o volume total.

Passo 3

Como obter u_2 e s_2 (estado final): para uma mistura saturada a p_2,
u_2 = u_{f,2} + x_2\,(u_{g,2}-u_{f,2}) = u_{f,2} + x_2\,u_{fg,2},
s_2 = s_{f,2} + x_2\,(s_{g,2}-s_{f,2}) = s_{f,2} + x_2\,s_{fg,2}.
Ensino breve sobre essas fórmulas: u_f e u_g são as energias internas específicas do líquido saturado e do vapor saturado; u_{fg}=u_g-u_f é a variação de u na vaporização; a mistura tem energia interna média ponderada pela qualidade x. Mesma ideia para entropia.
A ação prática: consulte a tabela de vapor saturado à pressão p_2=3000\\ \text{kPa} e anote v_{f,2}, v_{g,2}, u_{f,2}, u_{g,2}, s_{f,2}, s_{g,2}. Substitua nas fórmulas anteriores para calcular v_2, m, u_2, s_2.

Passo 4

Como obter u_1 e s_1 (estado inicial): primeiro calcule o volume específico inicial
v_1 = \frac{V_1}{m}.
Aí compare v_1 com v_{f,1} e v_{g,1} nas tabelas para p_1=10000\\ \text{kPa}:
  • Se v_1 < v_{f,1}: o fluido é líquido comprimido (próximo de líquido); pode-se aproximar u_1 \approx u_{f,1} e s_1 \approx s_{f,1} (ou usar correção de líquido comprimido nas tabelas).
  • Se v_{f,1} \le v_1 \le v_{g,1}: o fluido é mistura saturada e a qualidade é
x_1 = \frac{v_1 - v_{f,1}}{v_{g,1} - v_{f,1}}.
Então
u_1 = u_{f,1} + x_1\,u_{fg,1},\qquad s_1 = s_{f,1} + x_1\,s_{fg,1}.
  • Se v_1 > v_{g,1}: o fluido é vapor superaquecido; então use tabela de vapor superaquecido (ou eq. de estado) para obter u_1 e s_1.
Explicação didática: entropia e energia interna são funções de estado; não importa o caminho, só importam as propriedades do começo e do fim. Por isso podemos calcular u_1,u_2,s_1,s_2 a partir das tabelas.

Passo 5

Aplicar a 1ª Lei para trabalho (descrição e sinalização): para um sistema fechado (sem troca de massa) a 1ª Lei é
\Delta U = Q - W,
onde W é o trabalho realizado pelo sistema (padrão de engenharia). Como o sistema é bem isolado, Q=0. Logo
\Delta U = -W \quad\Rightarrow\quad W = U_1 - U_2.
Em termos de propriedades específicas:
W = m\,(u_1 - u_2).
Interpretação: se u_1>u_2 o sistema fornece trabalho positivo (produz trabalho). Essa é a expressão final prática que vamos usar depois de obter m,u_1,u_2 das tabelas.

Passo 6

Aplicar a 2ª Lei para \Delta S_{\text{universo}}: a variação total de entropia do universo é
\Delta S_{\text{universo}} = \Delta S_{\text{sistema}} + \Delta S_{\text{vizinhança}}.ç
Aqui o sistema é isolado termicamente (nenhum calor trocado com vizinhança), então a vizinhança não recebe calor e sua entropia não muda por esse processo: \Delta S_{\text{vizinhança}}=0ç. Portanto
\Delta S_{\text{universo}} = \Delta S_{\text{sistema}} = m\,(s_2 - s_1).
Observação conceitual importante: essa é uma consequência do fato de que entropia é função de estado — não precisamos conhecer o caminho irreversível para calcular a variação de entropia do sistema entre dois estados de equilíbrio, bastam as propriedades nos estados final e inicial. E como o processo é isolado, essa variação do sistema é exatamente a variação do universo. Pela 2ª Lei, o número resultante deve ser \ge 0 para processos espontâneos irreversíveis; se você obter um número negativo ao usar tabelas, é sinal de erro na identificação dos estados ou nas leituras das tabelas.

Passo 7

Resumo operacional (passo-a-passo que você deve executar com as tabelas):
  1. Na tabela de saturado à p_2=3000\\ \text{kPa} leia v_{f,2}, v_{g,2}, u_{f,2}, u_{g,2}, s_{f,2}, s_{g,2}.
  2. Calcule v_2 = v_{f,2} + x_2\,(v_{g,2}-v_{f,2}).
  3. Calcule m = V_2 / v_2.
  4. Calcule u_2 = u_{f,2} + x_2\,(u_{g,2}-u_{f,2}) e s_2 = s_{f,2} + x_2\,(s_{g,2}-s_{f,2}).
  5. Com m em mãos, calcule v_1 = V_1/m.
  6. Na tabela de saturado à p_1=10000\\ \text{kPa} leia v_{f,1}, v_{g,1}, u_{f,1}, u_{g,1}, s_{f,1}, s_{g,1}. Verifique a posição de v_1 para decidir se é líquido comprimido, mistura saturada ou vapor superaquecido.
  7. Calcule u_1 e s_1 conforme o caso (se for mistura, use x_1 = (v_1-v_{f,1})/(v_{g,1}-v_{f,1}) e faça as médias ponderadas; se for líquido comprimido, aproxime por u_{f,1},s_{f,1}; se for superaquecido, use a tabela de superaquecido).
  8. Finalmente compute:
W = m\,(u_1 - u_2)
\Delta S_{\text{universo}} = m\,(s_2 - s_1).

Passo 8

Comentário prático e dicas de prova (didática):
  • Nas provas você deve ter a tabela de vapor disponível; anote exatamente os números que pegar nas tabelas e indique a fonte (por ex.: “valores de tabela de vapor saturado, p=3000 kPa: v_f=..., v_g=..., …”).
  • Preste atenção às unidades: u e s normalmente estão em \text{kJ/kg} e \text{kJ/(kg·K)}; multiplique por m (kg) para obter energia total (kJ) e entropia total (kJ/K). Se quiser em MJ, divida por 1000.
  • Sinal de W: com a convenção usada, W>0 significa trabalho produzido pelo sistema.
  • Se der \Delta S_{\text{universo}}<0 você revisa imediatamente as leituras das tabelas — fisicamente não faz sentido para um processo isolado espontâneo.

Passo 9

Resultado final em forma pronta para numérico: (aqui estão as fórmulas finais que você deve calcular com os valores das tabelas)
\boxed{W = m\,(u_1 - u_2),\quad\text{onde}\quad m=\dfrac{V_2}{v_{f,2}+x_2\,(v_{g,2}-v_{f,2})},}
\boxed{\Delta S_{\text{universo}} = m\,(s_2 - s_1).}
Notas finais: para obter os números finais (valor numérico de W em kJ ou MJ e de \Delta S_{\text{universo}} em kJ/K), você deve consultar as tabelas de vapor para as pressões p_2=3000\\ \text{kPa} e p_1=10000\\ \text{kPa} e substituir nas expressões acima. Se quiser, eu mesmo posso pegar os valores de tabela e calcular numericamente — me diga apenas se eu devo usar uma tabela particular (por ex. tabelas industriais padrão) ou quer que eu use os valores tabelados que eu escolher.

Resposta

W = m\,(u_1 - u_2), com m=\dfrac{V_2}{v_{f,2}+x_2\,(v_{g,2}-v_{f,2})}.\n \Delta S_{\text{universo}} = m\,(s_2 - s_1).

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