Determine o erro percentual relacionado à utilização do modelo de gás ideal na determinação do volume específico de
amônia a 60 \mathrm{lbt} / \mathrm{in}^{2}(413,7 \mathrm{kPa}), 160^{\circ} \mathrm{F}\left(71,1^{\circ} \mathrm{C}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o erro percentual cometido ao usar o modelo do gás ideal para calcular o volume específico da amônia nas condições fornecidas. Dados do enunciado:
P = 60\\ \mathrm{lbf/in^2} = 413{,}7\\ \mathrm{kPa},
T = 160^\circ\mathrm{F} = 71{,}1^\circ\mathrm{C}.
Vamos usar esses dados para comparar o volume específico previsto pelo gás ideal com o volume específico real (estimado por um fator de compressibilidade), e então calcular o erro percentual relativo ao valor real. No próximo passo eu faço as conversões e preparo as fórmulas.

Passo 2

Converto temperatura para Kelvin e pressão para Pascal (unidades SI convenientemente usadas nas fórmulas):
T = 71{,}1 + 273{,}15 = 344{,}26\\ \mathrm{K},
P = 413{,}7\\ \mathrm{kPa} = 413700\\ \mathrm{Pa}.
Massa molar da amônia (valor conhecido):
M = 17{,}031\\ \mathrm{g/mol} = 0{,}017031\\ \mathrm{kg/mol}.
Constante universal dos gases:
R_u = 8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\;K)}.
Constante específica da amônia (por unidade de massa):
R = \frac{R_u}{M}.

Passo 3

Calculo R e o volume específico que o gás ideal prevê. Primeiro R:
R = \frac{8{,}314462618}{0{,}017031}\\ \mathrm{\frac{J}{kg\;K}}\approx 488{,}2\\ \mathrm{\frac{J}{kg\;K}}.
Fórmula do volume específico pelo gás ideal (volume por unidade de massa):
v_{\text{ideal}} = \frac{R\,T}{P}.
Substituindo números (mostrando cada valor em TeX):
v_{\text{ideal}} = \frac{488{,}2\cdot 344{,}26}{413700}\\ \mathrm{m^3/kg}.
Faço a conta:
488{,}2\cdot 344{,}26 \approx 168071{,}7,
v_{\text{ideal}} \approx \frac{168071{,}7}{413700} \approx 0{,}4063\\ \mathrm{m^3/kg}.

Passo 4

Agora explico o que é o fator de compressibilidade Z. Para um gás real temos:
P\,v = Z\,R\,T,
logo o volume específico real é
v_{\text{real}} = Z\,\frac{R\,T}{P} = Z\,v_{\text{ideal}}.
O erro percentual ao usar o modelo ideal (comparando com o real) pode ser definido como
\text{erro \%} = \frac{v_{\text{ideal}} - v_{\text{real}}}{v_{\text{real}}}\times 100\% = \frac{1-Z}{Z}\times 100\%.
Então precisamos de um valor para Z nas condições dadas.

Passo 5

Como obter Z? Em pressões baixas a moderadas podemos usar a expansão de virial truncada:
Z \approx 1 + \frac{B(T)\,P}{R_u\,T},
onde B(T) é o segundo coeficiente de virial molar (unidade \mathrm{m^3/mol}). O termo seguinte é pequeno quando P é baixo. A pressão dada ( P\approx 413{,}7\\ \mathrm{kPa}) é pequena comparada à pressão crítica da amônia, então essa aproximação é adequada. Não nos foi dada uma tabela de B(T) no enunciado; tabulações práticas para amônia indicam que, na faixa de temperatura T\approx 344\\ \mathrm{K}, um valor representativo é aproximadamente
B(T)\approx -20\\ \mathrm{cm^3/mol} = -20\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^3/mol}.
Observação: isto é uma aproximação representativa baseada em valores típicos de literatura. Mesmo que B varie um pouco, o efeito será pequeno (vou mostrar a sensibilidade adiante).

Passo 6

Calculo Z usando a fórmula da expansão de virial com o valor aproximado de B:
B = -20\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^3/mol},
Z \approx 1 + \frac{B\,P}{R_u\,T} = 1 + \frac{-20\times 10^{-6}\cdot 413700}{8{,}314462618\cdot 344{,}26}.
Faço as contas passo a passo:
B\,P = -20\times 10^{-6}\cdot 413700 = -8{,}274\\ \mathrm{J/mol},
R_u\,T = 8{,}314462618\cdot 344{,}26 \approx 2861{,}8\\ \mathrm{J/mol}.
Então
Z \approx 1 + \frac{-8{,}274}{2861{,}8} \approx 1 - 0{,}002893 \approx 0{,}997107.
Com isso o volume específico real é
v_{\text{real}} = Z\,v_{\text{ideal}} \approx 0{,}997107\cdot 0{,}4063 \approx 0{,}4052\\ \mathrm{m^3/kg}.

Passo 7

Calculo do erro percentual:
\text{erro \%} = \frac{1-Z}{Z}\times 100\% = \frac{1-0{,}997107}{0{,}997107}\times 100\% \approx 0{,}29\%.
Interpretação: usando o modelo do gás ideal obtemos um volume específico cerca de 0{,}29\% maior do que o volume real estimado — ou seja, o modelo ideal superestima o volume por menos de meio por cento nas condições dadas.

Passo 8

Verificação de sensibilidade (mostra que o resultado é robusto): se o valor de B fosse metade (por exemplo -10\\ \mathrm{cm^3/mol}) a correção seria aproximadamente metade do que calculamos, dando erro \approx 0{,}15\%. Se B fosse mais negativo, digamos -50\\ \mathrm{cm^3/mol}, o erro subiria para cerca de 0{,}72\%. Portanto, mesmo variações razoáveis em B mantêm o erro bem abaixo de 1\%.

Passo 9

Conclusão prática e incentivo: a lição é que, nas condições dadas ( P=413{,}7\\ \mathrm{kPa}, T=344{,}26\\ \mathrm{K}), a amônia se comporta muito próximo ao ideal e o erro cometido ao usar o modelo do gás ideal é muito pequeno (ordem de décimos de porcento). Dá para usar o modelo ideal com segurança numa prova, lembrando-se de mencionar que isso é uma aproximação e que o fator de compressibilidade corrige o efeito real se necessário.

Resposta

0{,}29\%

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