11.165 Uma maneira de melhorar o desempenho de um ciclo de refrigeração, que opera num grande intervalo de temperatura, consiste na utilização de um compressor de dois estágios. Considere um ciclo ideal de refrigeração, por compressão de vapor, com dois estágios e que utiliza o R-22 como fluido de trabalho. O ciclo opera com condensador a 40^{\circ} \mathrm{C} e evaporador a -30^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que o refrigerante deixa o condensador como líquido saturado e entra no compressor de baixa pressão como vapor saturado, determine o coeficiente de eficácia deste sistema.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • O enunciado pede: determinar o coeficiente de eficácia (COP) de um ciclo ideal de refrigeração por compressão de vapor com dois estágios, usando R-22, com condensador a 40^\circ\mathrm{C} e evaporador a -30^\circ\mathrm{C}.
  • Dados numéricos do enunciado:
    • Temperatura de condensador: T_{cond}=40^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura de evaporador: T_{evap}=-30^\circ\mathrm{C}.
    • O refrigerante sai do condensador como líquido saturado (ou seja, estado de saída do condensador é líquido saturado à T_{cond}).
    • O refrigerante entra no compressor de baixa pressão como vapor saturado (ou seja, a entrada do compressor de baixa pressão é vapor saturado à T_{evap}).
Observação importante (necessária para resolver numericamente): para avaliar o COP é preciso conhecer propriedades termodinâmicas do R-22 (pressões de saturação correspondentes a T_{cond} e T_{evap}, entalpias e entropias de vapor e líquido saturados a essas temperaturas, e propriedades em estados comprimidos isentrópicos). Essas propriedades vêm de tabelas ou software termodinâmico para o R-22; sem essas tabelas não é possível obter um valor numérico final. A seguir eu descrevo detalhadamente o procedimento passo a passo que deve ser seguido quando as tabelas estiverem disponíveis.

Passo 2

Descrição do ciclo ideal de dois estágios e definição dos estados (rotular os pontos do ciclo).
  • Adotamos o ciclo ideal de dois estágios com resfriamento interstágio perfeito (intercâmbio que devolve o vapor a cada estágio ao estado de vapor saturado na pressão intermediária). As compressões são isentrópicas (reversíveis e adiabáticas), a condensação é a T_{cond} até líquido saturado, e a expansão é uma válvula (processo isoentalpico idealizado).
  • Rotulação dos estados (convenção escolhida):
    • Estado 1: vapor saturado na saída do evaporador (entrada do compressor de baixa pressão). Temperatura T_1=T_{evap}=-30^\circ\mathrm{C}. Enthalpia h_1 e entropia s_1 correspondem a vapor saturado a T_{evap}.
    • Estado 2s: saída do compressor de baixa pressão em compressão isentrópica até a pressão intermediária P_i. Entropia s_{2s}=s_1. Enthalpia h_{2s} obtida na tabela para pressão P_i e entropia s_1.
    • Estado 3: após resfriamento interstágio perfeito, o fluido é trazido ao estado de vapor saturado na pressão intermédia P_i. Assim T_3=T_{sat}(P_i) e h_3=h_{g}(T_3) (entalpia de vapor saturado à temperatura T_3).
    • Estado 4s: saída do compressor de alta pressão (segunda etapa), obtida por compressão isentrópica do vapor saturado à P_i até a pressão de condensação P_{cond}. Então s_{4s}=s_3 e h_{4s} é a entalpia no estado comprimido isentrópico à pressão P_{cond}.
    • Estado 5: saída do condensador — líquido saturado à T_{cond}. Então h_5=h_f(T_{cond}), onde h_f é a entalpia do líquido saturado.
    • Estado 6: após válvula de expansão isoentalpica do líquido saturado (de P_{cond} para P_{evap}), tem-se h_6=h_5. Após vaporizar no evaporador, retorna-se ao estado 1: h_1=h_g(T_{evap}).
Observação: os índices “s” em 2s e 4s indicam compressões isentrópicas ideais. Em ciclo ideal consideramos as duas compressões isentrópicas e resfriamento interstágio que restaura o vapor ao estado saturado à pressão intermédia.

Passo 3

Como escolher a pressão intermédia P_i (ideia física e fórmula prática).
  • Intuição: em compressões em duas etapas com intercooling ideal, o trabalho total de compressão é mínimo quando a pressão intermédia é escolhida de modo a “equilibrar” as cargas das duas etapas. Para muitos gases refrigerantes e aproximações úteis, a escolha que minimiza o trabalho (e portanto maximiza o COP) é a pressão intermédia igual à raiz geométrica das pressões de condensação e evaporação:
P_i = \sqrt{P_{cond}\,P_{evap}}.
  • Procedimento prático: a partir das temperaturas dadas extrair das tabelas do R-22 as pressões de saturação correspondentes:
    • P_{evap}=P_{sat}(T_{evap}).
    • P_{cond}=P_{sat}(T_{cond}).
    • Calcular P_i pela fórmula acima.
  • Observação didática: a razão da raiz geométrica vem da minimização do trabalho total para compressão isotérmica idealizada e também é uma boa aproximação quando as propriedades não variam exageradamente; é o procedimento padrão em problemas didáticos de dois estágios.

Passo 4

Quais propriedades tabeladas são necessárias (lista exata de entradas que vamos buscar nas tabelas de R-22).
Para executar os cálculos precisamos dos seguintes valores retirados das tabelas (ou de uma base de dados termodinâmica) para R-22:
  • À temperatura T_{evap}=-30^\circ\mathrm{C}:
    • Pressão de saturação \,P_{evap}=P_{sat}(-30^\circ\mathrm{C}).
    • Entalpia do vapor saturado \,h_g(T_{evap}). (Este será h_1.)
    • Entropia do vapor saturado \,s_g(T_{evap}). (Este será s_1.)
  • À pressão intermédia P_i (ou à temperatura de saturação correspondente T_i=T_{sat}(P_i)):
    • Temperatura de saturação T_i=T_{sat}(P_i).
    • Entalpia do vapor saturado \,h_g(T_i). (Este será h_3.)
    • Entropia do vapor saturado \,s_g(T_i). (Este será s_3.)
  • À temperatura de condensador T_{cond}=40^\circ\mathrm{C}:
    • Pressão de saturação \,P_{cond}=P_{sat}(40^\circ\mathrm{C}).
    • Entalpia do líquido saturado \,h_f(T_{cond}). (Este será h_5.)
    • Se necessário, entropia do vapor saturado e do líquido saturado para interpolação, etc.
  • Para as compressões isentrópicas:
    • Para o primeiro estágio (compressão de P_{evap} até P_i): conhecendo s_1 e P_i, localizar na tabela (ou no diagrama) o estado com P=P_i e s=s_1 para obter h_{2s}.
    • Para o segundo estágio (compressão de P_i até P_{cond}): conhecendo s_3 e P_{cond}, localizar na tabela o estado com P=P_{cond} e s=s_3 para obter h_{4s}.
Observação prática: se as tabelas não apresentarem diretamente propriedades em função de (P,s), usa-se interpolação entre tabelas de propriedades superaquecidas (por pressão e temperatura) para achar h correspondente à pressão e entropia desejadas.

Passo 5

Expressões das quantidades termodinâmicas do ciclo em termos das entalpias tabeladas.
  • Efeito frigorífico por unidade de massa (frigorífico útil no evaporador):
q_L = h_1 - h_6.
Mas como h_6=h_5 (expansão isoentalpica do líquido saturado do condensador), temos:
q_L = h_1 - h_5.
  • Trabalho específico total dos dois compressores (assumindo compressões isentrópicas ideais):
w_{comp,total} = (h_{2s}-h_1) + (h_{4s}-h_3).
  • Coeficiente de eficácia (COP) do ciclo:
\mathrm{COP} = \frac{q_L}{w_{comp,total}} = \frac{h_1-h_5}{(h_{2s}-h_1)+(h_{4s}-h_3)}.
Essas expressões são diretas e intuitivas: o numerador é o calor removido no evaporador por kg de refrigerante; o denominador é o trabalho fornecido pelos compressores por kg.

Passo 6

Passo-a-passo numérico (o algoritmo a seguir quando se tem a tabela do R-22).
  1. A partir das tabelas para R-22:
    • Ler P_{evap}=P_{sat}(T_{evap}=-30^\circ\mathrm{C}).
    • Ler P_{cond}=P_{sat}(T_{cond}=40^\circ\mathrm{C}).
  2. Calcular a pressão intermédia ideal:
P_i=\sqrt{P_{evap}\,P_{cond}}.
  1. Obter h_1 e s_1: entalpia e entropia do vapor saturado a T_{evap}.
  2. Determinar h_{2s}: estado com P=P_i e s=s_1 (usar tabela de vapor superaquecido a P_i para interpolar e achar h_{2s}).
  3. Obter T_i=T_{sat}(P_i) e então h_3=h_g(T_i) e s_3=s_g(T_i).
  4. Determinar h_{4s}: estado com P=P_{cond} e s=s_3 (usar tabela de superaquecido a P_{cond} para interpolar).
  5. Obter h_5=h_f(T_{cond}) (entalpia do líquido saturado a 40^\circ\mathrm{C}).
  6. Calcular:
q_L = h_1 - h_5, \qquad w_{comp,total}=(h_{2s}-h_1)+(h_{4s}-h_3),
e então
\mathrm{COP}=\dfrac{q_L}{w_{comp,total}}.

Passo 7

Comentários pedagógicos sobre cada etapa e dicas de prova (como fazer sem calculadora, o que olhar nas tabelas, armadilhas).
  • Dica para a prova: anote claramente os estados e as hipóteses (isentrópico, resfriamento interstágio perfeito, expansão isoentalpica). Isso orienta que o trabalho depende de entalpias isentrópicas h_{2s} e h_{4s}.
  • Ao buscar h_{2s} e h_{4s}, frequentemente as tabelas de refrigerante fornecem tabelas de vapor superaquecido indexadas por pressão e temperatura. Para achar o estado com entropia fixa faça interpolação em tabela de superaquecido para a pressão desejada procurando a temperatura que dê a entropia necessária; em seguida leia a entalpia correspondente.
  • Se a tabela do enunciado já der h e s para os estados saturados apenas, e não der suficiente informação para compressores isentrópicos, peça (em exame) a tabela de superaquecido ou espere que números intermediários sejam dados. Sem dados de propriedades superaquecidas não tem como calcular h_{2s} e h_{4s}.
  • Erro comum: confundir o entalpia de líquido saturado h_f com entalpia de vapor saturado h_g. No condensador o fluido sai líquido saturado, então a entalpia após condensador é h_f(T_{cond}).
  • Outra observação prática: se for pedida a eficiência isentrópica real do compressor, aí entra rendimento e o trabalho real será maior; aqui o enunciado pediu ciclo ideal, então assumimos compressões isentrópicas perfeitas.

Passo 8

Expressão final simbólica e observação sobre a resposta numérica.
  • Resumindo, o COP do ciclo de dois estágios (ideal, com intercooling perfeito) é dado por:
\boxed{\mathrm{COP}=\dfrac{h_1-h_5}{(h_{2s}-h_1)+(h_{4s}-h_3)}}
onde os h são obtidos das tabelas do R-22 como descrito nos passos anteriores, e a pressão intermédia ideal é
P_i=\sqrt{P_{cond}\,P_{evap}}.
  • Observação final e prática: para obter um valor numérico do \mathrm{COP} é imprescindível consultar as propriedades termodinâmicas do R-22 (tabelas de saturação e de vapor superaquecido) para os pontos a T_{evap}=-30^\circ\mathrm{C}, T_{cond}=40^\circ\mathrm{C} e para a pressão intermédia P_i. Sem esses valores tabelados não é possível apresentar um número final correto. Se você me der (ou colar) a tabela de propriedades do R-22 para essas temperaturas/pressões, eu executo imediatamente as interpolação necessárias e calculo o \mathrm{COP} passo a passo com números.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o coeficiente de eficácia sem as propriedades termodinâmicas (tabelas) do R-22; o \mathrm{COP} deve ser calculado por
\mathrm{COP}=\dfrac{h_1-h_5}{(h_{2s}-h_1)+(h_{4s}-h_3)},
com P_i=\sqrt{P_{cond}P_{evap}} e h-valores obtidos nas tabelas de R-22 para T_{evap}=-30^\circ\mathrm{C}, T_{cond}=40^\circ\mathrm{C} e P_i.

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