11.71 Considere uma instalação estacionária de turbina a gás que opera segundo o ciclo Brayton ideal e que fornece uma potência de 100 MW a um gerador elétrico. O ciclo opera com ar, sendo que na seção de entrada do compressor a pressão é de 100 kPa e a temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. A relação de pressão no compressor é 10 e a temperatura máxima no ciclo é 1100^{\circ} \mathrm{C}. Determine:
a. O rendimento térmico do ciclo.
b. O fluxo de massa de ar.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede as quantidades indicadas.
Dados fornecidos:
  • Potência elétrica fornecida: 100\\ \mathrm{MW}.
  • Ciclo: ciclo de Brayton ideal (instalação estacionária, ar).
  • Pressão na entrada do compressor: p_1 = 100\\ \mathrm{kPa}.
  • Temperatura na entrada do compressor: 20^\circ\mathrm{C}, ou seja T_1 = 293\\ \mathrm{K} (conversão de Celsius para Kelvin).
  • Relação de pressão no compressor: r_p = \dfrac{p_2}{p_1} = 10.
  • Temperatura máxima do ciclo (ponto de entrada da turbina): 1100^\circ\mathrm{C}, ou seja T_3 = 1373\\ \mathrm{K}.
  • Considerar ar como gás perfeito com constantes usuais: \gamma = 1{,}4 e c_p = 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
O que se pede:
(a) O rendimento térmico do ciclo, \eta.
(b) O fluxo mássico de ar, \dot{m}, necessário para produzir 100\\ \mathrm{MW} elétricos (ou seja, potência líquida do ciclo igual a 100\\ \mathrm{MW}).

Passo 2

Escolha do método e hipóteses (curta explicação didática).
  • Para o ciclo de Brayton ideal com processos de compressão e expansão isentrópicos e calor adicionado/rejeitado a pressão(s) constantes, usa-se as relações isentrópicas para gases perfeitos: \frac{T_2}{T_1} = \left(r_p\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} \qquad\text{e}\qquad \frac{T_4}{T_3} = \left(r_p\right)^{-\frac{\gamma-1}{\gamma}}.Aqui \gamma = \dfrac{c_p}{c_v} é a razão de calores específicos e r_p é a razão de pressão do compressor.
  • A energia específica (por unidade de massa) associada a cada máquina é dada, com c_p constante, por: w_c = c_p\,(T_2 - T_1)\quad\text{(trabalho do compressor)},
w_t = c_p\,(T_3 - T_4)\quad\text{(trabalho da turbina)}.
  • O trabalho líquido específico disponível do ciclo é w_{\text{líq}} = w_t - w_c = c_p\big[(T_3 - T_4) - (T_2 - T_1)\big].í
  • O calor específico adicionado é q_{\text{in}} = c_p\,(T_3 - T_2).
  • O rendimento térmico do ciclo é \eta = \frac{w_{\text{líq}}}{q_{\text{in}}}.í
Essas fórmulas são padrão para o Brayton ideal com cp constante; neste exercício elas são as mais diretas e suficientes.

Passo 3

Calcular as temperaturas intermediárias T_2 e T_4 usando as relações isentrópicas.
Primeiro calcule o expoente
k = \frac{\gamma-1}{\gamma} = \frac{1{,}4-1}{1{,}4} = \frac{0{,}4}{1{,}4} = 0{,}285714\ldots
Calcule r_p^{k}:
r_p^{k} = 10^{0{,}285714\ldots} \approx 1{,}9307.
Agora as temperaturas:
T_2 = T_1\,r_p^{k} = 293\cdot 1{,}9307 \approx 565{,}7\\ \mathrm{K}.
T_4 = T_3\,r_p^{-k} = 1373\cdot \frac{1}{1{,}9307} \approx 711{,}2\\ \mathrm{K}.
(Interpretação curta: a compressão eleva a temperatura de 293\\ \mathrm{K} para cerca de 566\\ \mathrm{K}; a expansão na turbina a partir de 1373\\ \mathrm{K} chega a cerca de 711\\ \mathrm{K}.)

Passo 4

Calcular trabalhos específicos e calor adicionado por unidade de massa usando c_p.
Diferenças de temperatura:
T_3 - T_4 \approx 1373 - 711{,}2 = 661{,}8\\ \mathrm{K},
T_2 - T_1 \approx 565{,}7 - 293 = 272{,}7\\ \mathrm{K},
T_3 - T_2 \approx 1373 - 565{,}7 = 807{,}3\\ \mathrm{K}.
Com c_p = 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}:
w_t = c_p\,(T_3 - T_4) \approx 1005\cdot 661{,}8 \approx 665{,}150\\ \mathrm{J/kg},
w_c = c_p\,(T_2 - T_1) \approx 1005\cdot 272{,}7 \approx 274{,}058\\ \mathrm{J/kg},
w_{\text{líq}} = w_t - w_c \approx 665{,}150 - 274{,}058 = 391{,}092\\ \mathrm{J/kg},í
q_{\text{in}} = c_p\,(T_3 - T_2) \approx 1005\cdot 807{,}3 \approx 811{,}342\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 5

Calcular o rendimento térmico do ciclo \eta.
Usando
\eta = \frac{w_{\text{líq}}}{q_{\text{in}}} = \frac{391{,}092}{811{,}342} \approx 0{,}4819.í
Em porcentagem:
\eta \approx 48{,}2\\ \%.
Observação didática: o rendimento depende de T_1, T_3 e da razão de pressão r_p. Com cp constante e processos isentrópicos, é possível escrever uma expressão algébrica fechada em termos de T_1,T_3 e r_p; aqui fizemos via diferenças de temperatura que é mais direta e fácil de aplicar em prova.

Passo 6

Calcular o fluxo de massa \dot{m} necessário para fornecer 100\\ \mathrm{MW}.
A potência líquida disponível do ciclo é
\dot{W}_{\text{líq}} = \dot{m}\,w_{\text{líq}}.íí
Queremos \dot{W}_{\text{líq}} = 100\\ \mathrm{MW} = 100\times 10^{6}\\ \mathrm{W}í. Assim
\dot{m} = \frac{100\times 10^{6}}{w_{\text{líq}}} = \frac{100\times 10^{6}}{391{,}092}\\ \mathrm{kg/s}.í
Calculando:
\dot{m} \approx 255{,}7\\ \mathrm{kg/s}.
(Arredondando convenientemente, \dot{m}\approx 256\\ \mathrm{kg/s}.)

Resposta

(a) \eta \approx 0{,}4819 \approx 48{,}2\%
(b) \dot{m} \approx 255{,}7\\ \mathrm{kg/s}

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