Exercício 07 Demonstre que d V é exato segundo o critério de Euler.

Passo 1

O enunciado pede: demonstrar que dV é uma forma exata segundo o critério de Euler.
Informações dadas (implícitas no enunciado): existe uma função V de variáveis independentes (por exemplo (x_1,x_2,\dots,x_n)) cujo diferencial dV é a forma que queremos analisar. Não há outros dados numéricos; a tarefa é uma demonstração teórica.

Passo 2

O que significa “forma exata” (definição e ideia usada na prova).
  • Uma 1‑forma \omega num domínio é dita exata se existe uma função (potencial) \Phi tal que \omega = d\Phi.
  • Em palavras simples: uma 1‑forma é exata quando ela é o diferencial de alguma função.
  • Portanto, para mostrar que dV é exato basta identificar explicitamente uma função cuja diferencial seja exatamente dV. Esta é a verificação direta da definição.

Passo 3

Escrevendo o diferencial de V de forma explícita (passo mecânico e didático).
  • Seja V função das variáveis (x_1,x_2,\dots,x_n). A definição do diferencial total de V é
dV=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial V}{\partial x_i}\,dx_i.
  • Aqui \dfrac{\partial V}{\partial x_i} é a derivada parcial de V em relação à variável x_i e dx_i é o diferencial correspondente. Esta expressão é exatamente a forma 1 que se obtém ao derivar V.

Passo 4

Concluindo a exatidão por definição (a parte essencial da demonstração).
  • Pela definição de forma exata: se existe uma função \Phi tal que \omega=d\Phi, então \omega é exata.
  • Tomando \Phi=V e \omega=dV, obtemos imediatamente \omega=d\Phi. Logo \,dV é exata — porque é o diferencial da própria função V.
  • Essa conclusão é tautológica, mas é o critério correto: produzir uma função cujo diferencial é a forma dada. Aqui a função é V própria.

Passo 5

Comentário adicional usando o “crité rio de Euler” (contexto e consequência útil).
  • Se, além disso, V for homogênea de grau k (isto é, V(\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)=\lambda^{k}V(x_1,\dots,x_n) para todo \lambda>0), então vale o teorema de Euler:
\sum_{i=1}^{n} x_i\frac{\partial V}{\partial x_i}=k\,V.
  • Diferenciando essa identidade e usando a expressão de dV obtém‑se relações úteis entre dV e as derivadas das derivadas parciais; por exemplo
\sum_{i=1}^{n} x_i\,d\!\left(\frac{\partial V}{\partial x_i}\right)=(k-1)\,dV.
  • Essa relação mostra como dV se relaciona com as diferentesiais das derivadas parciais quando V é homogênea, e é uma aplicação do “critério de Euler” no estudo estrutural de dV. Mas a exatidão de dV continua sendo garantida pela própria definição (é o diferencial de V).

Resposta

dV é exato, pois por definição dV é o diferencial da função V, isto é, existe a função potencial V tal que dV=dV.

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