Exercício 07 Demonstre que
é exato segundo o critério de Euler.
Passo 1
O enunciado pede: demonstrar que
é uma forma exata segundo o critério de Euler.
Informações dadas (implícitas no enunciado): existe uma função de variáveis independentes (por exemplo
) cujo diferencial
é a forma que queremos analisar. Não há outros dados numéricos; a tarefa é uma demonstração teórica.
Informações dadas (implícitas no enunciado): existe uma função
Passo 2
O que significa “forma exata” (definição e ideia usada na prova).
- Uma 1‑forma
num domínio é dita exata se existe uma função (potencial) tal que . - Em palavras simples: uma 1‑forma é exata quando ela é o diferencial de alguma função.
- Portanto, para mostrar que
é exato basta identificar explicitamente uma função cuja diferencial seja exatamente . Esta é a verificação direta da definição.
Passo 3
Escrevendo o diferencial de
de forma explícita (passo mecânico e didático).
- Seja
função das variáveis . A definição do diferencial total de é
- Aqui
é a derivada parcial de em relação à variável e é o diferencial correspondente. Esta expressão é exatamente a forma 1 que se obtém ao derivar .
Passo 4
Concluindo a exatidão por definição (a parte essencial da demonstração).
- Pela definição de forma exata: se existe uma função
tal que , então é exata. - Tomando
e , obtemos imediatamente . Logo é exata — porque é o diferencial da própria função . - Essa conclusão é tautológica, mas é o critério correto: produzir uma função cujo diferencial é a forma dada. Aqui a função é
própria.
Passo 5
Comentário adicional usando o “crité rio de Euler” (contexto e consequência útil).
- Se, além disso,
for homogênea de grau (isto é, para todo ), então vale o teorema de Euler:
- Diferenciando essa identidade e usando a expressão de
obtém‑se relações úteis entre e as derivadas das derivadas parciais; por exemplo
- Essa relação mostra como
se relaciona com as diferentesiais das derivadas parciais quando é homogênea, e é uma aplicação do “critério de Euler” no estudo estrutural de . Mas a exatidão de continua sendo garantida pela própria definição (é o diferencial de ).