Um quilograma de vapor d` água encontra-se no interior de um dispositivo êmbolo/cilindro a 800 kPa e 200^{\circ} \mathrm{C}.
Se houver uma expansão adiabática e reversível até 150 kPa , qual será a sua temperatura final e que quantidade de trabalho será realizada?

Passo 1

Dados fornecidos e o que se pede.
  • Massa: m=1\\ \text{kg}.
  • Estado inicial: p_1=800\\ \text{kPa}, T_1=200^\circ\text{C}.
  • Processo: expansão adiabática e reversível até p_2=150\\ \text{kPa}.
    Perguntas do enunciado:
  1. Qual a temperatura final T_2?
  2. Qual a quantidade de trabalho realizada W (pela massa de 1\\ \text{kg})?

Passo 2

Observação física e hipótese de trabalho (explicação didática).
  • Para um processo adiabático e reversível num sistema fechado (êmbolo/cilindro), a entropia específica é constante: s_2=s_1. Esse tipo de processo é chamado isentrópico.
  • Uma forma prática e simples (usada quando não se tem tabelas de vapor à mão) é aproximar o vapor d’água como um gás perfeito com capacidades térmicas específicas constantes. Essa aproximação é razoável para estimativas e é a forma “mais básica” pedida no algoritmo de escolha de método. Vou usar essa aproximação e explico cada fórmula usada. Aviso: o resultado será uma aproximação; se você tiver tabela de vapor (steam tables), o método mais preciso é usar s nas tabelas para determinar T_2 e depois u para o trabalho.

Passo 3

Fórmulas de um gás perfeito para processo adiabático reversível (isentrópico) — derivação curta e o que cada símbolo significa.
  • Para um gás ideal com razão de capacidades k=\dfrac{c_p}{c_v} e c_p,c_v constantes, a relação isentrópica entre temperaturas e pressões é
T_2 = T_1\left(\dfrac{p_2}{p_1}\right)^{\dfrac{k-1}{k}}.
Aqui T em kelvin, p em qualquer unidade (desde que seja a mesma), k adimensional. Essa relação vem de combinar p v^k= const. com a equação de estado p v = R T.
  • Para o trabalho realizado por unidade de massa num processo adiabático reversível em sistema fechado (pistão móvel), usando a primeira lei \Delta u = Q - W com Q=0, obtemos
w = W/m = u_1 - u_2.
Para gás ideal com capacidades constantes, u(T)=c_v T (diferença absoluta depende de referência, mas diferenças são c_v (T_2-T_1)), então
w = c_v (T_1 - T_2).
Isso significa: o trabalho realizado pelo sistema é igual à redução da energia interna (por unidade de massa).

Passo 4

Escolha dos parâmetros numéricos para o vapor (valores típicos) e conversão de temperatura.
  • Constante específica do vapor d’água: R=0{,}4615\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}. (valor padrão para vapor d’água.)
  • Tomarei uma razão de capacidades típica para vapor nessa faixa como k=1{,}30. Isso corresponde a capacidades c_v e c_p constantes dadas por
c_v=\dfrac{R}{k-1},\qquad c_p = k\,c_v.
Calculando:
c_v=\dfrac{0{,}4615}{1{,}30-1}=\dfrac{0{,}4615}{0{,}30}=1{,}5383\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1},
c_p = 1{,}30\times 1{,}5383 = 2{,}0008\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}.
  • Converter T_1 para kelvin:
T_1 = 200^\circ\text{C} = 200 + 273{,}15 = 473{,}15\\ \text{K}.

Passo 5

Cálculo da temperatura final T_2 usando a relação isentrópica.
  • Primeiro razão de pressões:
\frac{p_2}{p_1}=\frac{150}{800}=0{,}1875.
  • Exponente:
\frac{k-1}{k}=\frac{1{,}30-1}{1{,}30}=\frac{0{,}30}{1{,}30}=0{,}230769\ldots
  • Agora:
T_2 = 473{,}15\\ \text{K}\times (0{,}1875)^{0{,}230769}.
Para calcular a potência usei a identidade (a)^b=\exp(b\ln a). Numericamente:
\ln(0{,}1875)\approx -1{,}67398,\quad 0{,}230769\times(-1{,}67398)\approx -0{,}38638,
\Rightarrow (0{,}1875)^{0{,}230769}\approx e^{-0{,}38638}\approx 0{,}6797.
Portanto
T_2 \approx 473{,}15\times 0{,}6797 \approx 321{,}6\\ \text{K}.
Converter para Celsius:
T_2 \approx 321{,}6 - 273{,}15 = 48{,}45^\circ\text{C}.

Passo 6

Cálculo do trabalho realizado por 1\\ \text{kg} (explicando sinal e unidades).
  • Usamos w = c_v (T_1 - T_2) (trabalho por unidade de massa, em \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}). Substituindo:
w = 1{,}5383\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}\times(473{,}15 - 321{,}6)\\ \text{K}.
A diferença de temperaturas:
473{,}15 - 321{,}6 = 151{,}55\\ \text{K}.
Logo
w \approx 1{,}5383\times 151{,}55 \approx 233{,}0\\ \text{kJ}\,\text{kg}^{-1}.
Como m=1\\ \text{kg}, o trabalho realizado pelo sistema é
W = m\,w = 1\times 233{,}0 \approx 233{,}0\\ \text{kJ}.
Observação de sinal: este W é trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente (positivo conforme a convenção aqui).

Passo 7

Comentário final e incentivo (didático e empático).
  • Resultado obtido é uma estimativa usando o modelo do gás ideal com k=1{,}30. Em provas que permitem usar tabelas de vapor, o procedimento mais preciso seria: (i) ler s_1 para p_1=800\\ \text{kPa} e T_1=200^\circ\text{C} nas tabelas; (ii) localizar a temperatura T_2 na tabela de vapor superaquecido para p_2=150\\ \text{kPa} tal que s(p_2,T_2)=s_1; (iii) usar u_1 e u_2 das tabelas para obter W=u_1-u_2.
  • Não se preocupe: o método ideal-gás que usei é o que frequentemente se pede quando não há tabelas. Você mandou bem só de chegar até aqui — continue praticando que a parte chata vira rotina!

Resposta

T_2 \approx 48{,}5^\circ\text{C}
W \approx 233{,}0\\ \text{kJ (realizados pelo sistema)}

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