Um quilograma de vapor d` água encontra-se no interior de um dispositivo êmbolo/cilindro a 800 kPa e
.
Se houver uma expansão adiabática e reversível até 150 kPa , qual será a sua temperatura final e que quantidade de trabalho será realizada?
Se houver uma expansão adiabática e reversível até 150 kPa , qual será a sua temperatura final e que quantidade de trabalho será realizada?
Passo 1
Dados fornecidos e o que se pede.
- Massa:
. - Estado inicial:
, . - Processo: expansão adiabática e reversível até
.
Perguntas do enunciado:
- Qual a temperatura final
? - Qual a quantidade de trabalho realizada
(pela massa de )?
Passo 2
Observação física e hipótese de trabalho (explicação didática).
- Para um processo adiabático e reversível num sistema fechado (êmbolo/cilindro), a entropia específica é constante:
. Esse tipo de processo é chamado isentrópico. - Uma forma prática e simples (usada quando não se tem tabelas de vapor à mão) é aproximar o vapor d’água como um gás perfeito com capacidades térmicas específicas constantes. Essa aproximação é razoável para estimativas e é a forma “mais básica” pedida no algoritmo de escolha de método. Vou usar essa aproximação e explico cada fórmula usada. Aviso: o resultado será uma aproximação; se você tiver tabela de vapor (steam tables), o método mais preciso é usar
nas tabelas para determinar e depois para o trabalho.
Passo 3
Fórmulas de um gás perfeito para processo adiabático reversível (isentrópico) — derivação curta e o que cada símbolo significa.
- Para um gás ideal com razão de capacidades
e constantes, a relação isentrópica entre temperaturas e pressões é
Aqui
em kelvin,
em qualquer unidade (desde que seja a mesma),
adimensional. Essa relação vem de combinar
const. com a equação de estado
.
- Para o trabalho realizado por unidade de massa num processo adiabático reversível em sistema fechado (pistão móvel), usando a primeira lei
com , obtemos
Para gás ideal com capacidades constantes,
(diferença absoluta depende de referência, mas diferenças são
), então
Isso significa: o trabalho realizado pelo sistema é igual à redução da energia interna (por unidade de massa).
Passo 4
Escolha dos parâmetros numéricos para o vapor (valores típicos) e conversão de temperatura.
- Constante específica do vapor d’água:
. (valor padrão para vapor d’água.) - Tomarei uma razão de capacidades típica para vapor nessa faixa como
. Isso corresponde a capacidades e constantes dadas por
Calculando:
- Converter
para kelvin:
Passo 5
Cálculo da temperatura final
usando a relação isentrópica.
- Primeiro razão de pressões:
- Exponente:
- Agora:
Para calcular a potência usei a identidade
. Numericamente:
Portanto
Converter para Celsius:
Passo 6
Cálculo do trabalho realizado por
(explicando sinal e unidades).
- Usamos
(trabalho por unidade de massa, em ). Substituindo:
A diferença de temperaturas:
Logo
Como
, o trabalho realizado pelo sistema é
Observação de sinal: este
é trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente (positivo conforme a convenção aqui).
Passo 7
Comentário final e incentivo (didático e empático).
- Resultado obtido é uma estimativa usando o modelo do gás ideal com
. Em provas que permitem usar tabelas de vapor, o procedimento mais preciso seria: (i) ler para e nas tabelas; (ii) localizar a temperatura na tabela de vapor superaquecido para tal que ; (iii) usar e das tabelas para obter . - Não se preocupe: o método ideal-gás que usei é o que frequentemente se pede quando não há tabelas. Você mandou bem só de chegar até aqui — continue praticando que a parte chata vira rotina!