4.12- Uma bala de chumbo de 3,00 \mathrm{~g} a 30,0^{\circ} \mathrm{C} é disparada a uma velocidade de 240 \mathrm{~m} / \mathrm{s} contra um grande bloco de gelo a 0^{\circ} \mathrm{C} ao qual fica presa. Os calores específico e latente do gelo são, respectivamente, 0,5 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C} e 80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}. Despreze a capacidade térmica do copo de isopor. Com base nestes dados, calcule a massa de gelo que derrete.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa de gelo que derrete quando uma bala de chumbo fica presa num grande bloco de gelo. Vamos listar claramente os dados fornecidos e o que é pedido.
  • Massa da bala: m_{\text{b}} = 3,00\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial da bala: T_{\text{i}}=30,0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do gelo (inicial e de equilíbrio assumido): T_{\text{gelo}}=0^\circ\mathrm{C}.
  • Velocidade da bala no impacto: v = 240\\ \mathrm{m/s}.
  • Calor específico do gelo (para elevar temperatura do gelo, se necessário): c_{\text{gelo}} = 0,5\\ \mathrm{cal/g}^\circ\mathrm{C}. (não será preciso aquecer o gelo se ele já está a 0^\circ\mathrm{C}; usamos o calor latente).
  • Calor latente de fusão do gelo: L_f = 80\\ \mathrm{cal/g}.
  • Desprezar a capacidade térmica do copo de isopor (já indicado no enunciado).
  • A bala fica presa no gelo — portanto parte da energia cinética da bala será transformada em calor e usada para derreter gelo; assumimos que toda essa energia (mais a perda térmica da bala ao esfriar até 0^\circ\mathrm{C}) vai para a fusão do gelo.
O que precisamos encontrar: a massa de gelo que derrete, em gramas (ou outra unidade), digamos m_{\text{derretido}}.

Passo 2

Estratégia física e fórmulas que vamos usar (explicando cada termo).
Usaremos conservação de energia térmica: o calor liberado pela bala (energia cinética convertida em calor mais a energia térmica que a bala perde ao esfriar de 30,0^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}) é absorvido pelo gelo para se fundir. Assim:
Q_{\text{liberado}} = Q_{\text{absorvido}}.
Energia cinética da bala (fórmula da mecânica clássica):
E_k = \tfrac{1}{2} m v^2,
onde m é a massa em quilogramas e v a velocidade em \mathrm{m/s}. Essa energia será convertida em calor no impacto.
Calor devido ao resfriamento da bala:
Q_{\text{resf}} = m_{\text{b}}\, c_{\text{Pb}}\, \Delta T,
onde m_{\text{b}} é a massa da bala (em gramas), c_{\text{Pb}} é o calor específico do chumbo (em \mathrm{cal/g}^\circ\mathrm{C}) e \Delta T = T_{\text{i}}-0^\circ\mathrm{C}.
Calor necessário para fundir massa m_{\text{derretido}} de gelo à 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{fusão}} = m_{\text{derretido}}\, L_f,ã
onde L_f é o calor latente de fusão ( \mathrm{cal/g}).
Unidades: como o calor latente e o calor específico do gelo estão em calorias, é conveniente converter a energia cinética (em joules) para calorias usando 1\\ \mathrm{cal} = 4,186\\ \mathrm{J}.
Observação sobre c_{\text{Pb}}: o enunciado não dá o calor específico do chumbo; vou usar o valor tabulado aproximado
c_{\text{Pb}} \approx 0,031\\ \mathrm{cal/g}^\circ\mathrm{C},
que é um valor padrão para chumbo (explicando: é o quanto 1\\ \mathrm{g} de chumbo libera ou absorve ao mudar 1^\circ\mathrm{C}).

Passo 3

Calcular a energia cinética da bala e converter para calorias.
Primeiro converto a massa da bala para quilogramas para usar na fórmula da energia cinética:
m_{\text{b}} = 3,00\\ \mathrm{g} = 0,00300\\ \mathrm{kg}.
Energia cinética:
E_k = \tfrac{1}{2}\, m_{\text{b}}\, v^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0,00300\cdot (240)^2\\ \mathrm{J}.
Calculemos:
E_k = 0,00150\cdot 57600 = 86,4\\ \mathrm{J}.
Agora converto para calorias usando 1\\ \mathrm{cal} = 4,186\\ \mathrm{J}:
E_k^{(\text{cal})} = \frac{86,4}{4,186} \approx 20,64\\ \mathrm{cal}.
Comentário: essa é a quantidade de calor que aparece instantaneamente no ponto do impacto se toda a energia cinética for transformada em calor localmente no gelo.

Passo 4

Calcular o calor liberado pelo resfriamento da bala de 30,0^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C}.
Fórmula:
Q_{\text{resf}} = m_{\text{b}}\, c_{\text{Pb}}\, \Delta T.
Usando m_{\text{b}} = 3,00\\ \mathrm{g}, c_{\text{Pb}} = 0,031\\ \mathrm{cal/g}^\circ\mathrm{C} e \Delta T = 30,0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{resf}} = 3,00\cdot 0,031\cdot 30,0 = 2,79\\ \mathrm{cal}.
Explicação didática: o chumbo libera pouco calor ao esfriar porque seu calor específico é pequeno — por isso a contribuição térmica do resfriamento é bem menor que a da energia cinética.

Passo 5

Somar todas as energias liberadas pela bala (cinética + resfriamento) — essa é a energia disponível para fundir gelo.
Q_{\text{total}} = E_k^{(\text{cal})} + Q_{\text{resf}} = 20,64 + 2,79 = 23,43\\ \mathrm{cal}.
Observação: estamos assumindo que todo esse calor vai só para a fusão do gelo (nenhuma perda para o ambiente nem aquecimento do bloco de gelo acima de 0^\circ\mathrm{C}), conforme pedido no enunciado (grande bloco de gelo e copo isolante).

Passo 6

Calcular a massa de gelo fundida usando Q_{\text{fusão}} = m_{\text{derretido}}\, L_fã.
Isolando m_{\text{derretido}}:
m_{\text{derretido}} = \frac{Q_{\text{total}}}{L_f} = \frac{23,43}{80}\\ \mathrm{g}.
Fazendo a divisão:
m_{\text{derretido}} \approx 0,2929\\ \mathrm{g}.
Arredondando com base nas cifras significativas dos dados (aproximadamente três algarismos significativos), podemos dar:
m_{\text{derretido}} \approx 0,293\\ \mathrm{g}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: o valor é pequeno (menos de meio grama), o que faz sentido — a energia disponível da bala (mesmo a velocidade sendo grande) é limitada pela sua massa pequena, e o calor latente de fusão do gelo é relativamente grande. A contribuição do resfriamento da bala é pequena comparada à energia cinética.

Resposta

0,293\\ \mathrm{g}

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