QUESTÃO 4. [Valor: 3,5 ] A entalpia de mistura a 300 K do sistema binario acido fluoridrico (1) e água (2) pode ser representada por:
H_{m}\left(\frac{J}{\mathrm{~mol}}\right)=-1850-28240 x_{1}+26800 x_{1}^{2}
a) Determine a 300 K a entalpia molar parcial de cada componente na mistura
b) Uma solução com x_{1}=0,2 é misturada continuamente na proporçào 2:1 com equimolar outra solução de composição x_{1}=0,9 num recipiente isotérmico a 300 K . Determine a quantidade de calor que é necessário adicionar ou remover por mol de mistura que sai do recipiente. Considere que o processo de mistura è isobárico.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a entalpia molar da mistura (a 300\\ \mathrm{K}) para o sistema binário HF (componente 1) + água (componente 2) é
H_{m}\left(\mathrm{J\,mol^{-1}}\right)=-1850-28240\,x_{1}+26800\,x_{1}^{2},
onde x_{1} é a fração molar do componente 1 (HF) e x_{2}=1-x_{1} é a fração molar do componente 2 (água).
  • Pedidos:
    (a) Determinar, a 300\\ \mathrm{K}, a entalpia molar parcial de cada componente na mistura (ou seja, \bar{H}_{1} e \bar{H}_{2} como funções de x_{1}).
    (b) Uma solução com x_{1}=0,2 é misturada na proporção molar 2:1 com outra solução de composição x_{1}=0,9 num recipiente isotérmico a 300\\ \mathrm{K}. Determinar a quantidade de calor que é necessário adicionar ou remover por mol de mistura que sai do recipiente (processo isobárico). Aqui interpretamos "proporção 2:1" como duas mols da primeira solução para cada 1 mol da segunda (mistura em base molar).

Passo 2

Conceito e fórmula útil (explicação didática sobre propriedades molares parciais).
  • Definição: a entalpia molar da mistura H_{m} é a entalpia por mol da mistura inteira. Para um sistema binário vale a relação de mistura
H_{m}=x_{1}\,\bar{H}_{1}+x_{2}\,\bar{H}_{2},
onde \bar{H}_{1} e \bar{H}_{2} são as entalpias molares parciais de 1 e 2, respectivamente.
  • Método prático para obter \bar{H}_{i} a partir de H_{m}(x_{1}): para um binário existe uma relação direta envolvendo a derivada de H_{m} em relação a x_{1}:
\bar{H}_{1}=H_{m}+(1-x_{1})\frac{dH_{m}}{dx_{1}}, \qquad \bar{H}_{2}=H_{m}-x_{1}\frac{dH_{m}}{dx_{1}}.
Explicação rápida de onde vem: deriva-se H_{m}=x_{1}\bar{H}_{1}+x_{2}\bar{H}_{2} em relação a x_{1} e usa-se a identidade x_{1}+x_{2}=1; o resultado é essa forma prática (é uma relação padrão para propriedades molares parciais).

Passo 3

Calcular a derivada \dfrac{dH_{m}}{dx_{1}}.
  • A função dada é
H_{m}(x_{1})=-1850-28240\,x_{1}+26800\,x_{1}^{2}.
  • Derivando termo a termo:
\frac{dH_{m}}{dx_{1}}=-28240+2\cdot26800\,x_{1}=-28240+53600\,x_{1}.

Passo 4

Aplicar as fórmulas das parciais e simplificar algebricamente.
  • Usando \bar{H}_{1}=H_{m}+(1-x_{1})\dfrac{dH_{m}}{dx_{1}}:
\bar{H}_{1}=(-1850-28240x_{1}+26800x_{1}^{2})+(1-x_{1})(-28240+53600x_{1}).
Agora expandir e simplificar passo a passo:
(1-x_{1})(-28240+53600x_{1})=-28240+53600x_{1}+28240x_{1}-53600x_{1}^{2}
\phantom{(1-x_{1})(\cdots)}=-28240+ (53600+28240)x_{1}-53600x_{1}^{2}
\phantom{(1-x_{1})(\cdots)}=-28240+81840x_{1}-53600x_{1}^{2}.
Somando com H_{m}:
\bar{H}_{1}=-1850-28240x_{1}+26800x_{1}^{2}-28240+81840x_{1}-53600x_{1}^{2}.
Agrupando termos semelhantes:
\bar{H}_{1}=(-1850-28240)+(-28240x_{1}+81840x_{1})+(26800x_{1}^{2}-53600x_{1}^{2}).
\bar{H}_{1}=-30090+53600x_{1}-26800x_{1}^{2}\qquad\text{(J\,mol}^{-1}\text{)}.
  • Usando \bar{H}_{2}=H_{m}-x_{1}\dfrac{dH_{m}}{dx_{1}}:
\bar{H}_{2}=(-1850-28240x_{1}+26800x_{1}^{2})-x_{1}(-28240+53600x_{1}).
Calcular x_{1}(-28240+53600x_{1})=-28240x_{1}+53600x_{1}^{2}. Subtraindo:
\bar{H}_{2}=-1850-28240x_{1}+26800x_{1}^{2}+28240x_{1}-53600x_{1}^{2}.
Os termos em x_{1} cancelam e resta:
\bar{H}_{2}=-1850-26800x_{1}^{2}\qquad\text{(J\,mol}^{-1}\text{)}.

Passo 5

Verificação rápida (controle de consistência).
  • Deve valer H_{m}=x_{1}\bar{H}_{1}+x_{2}\bar{H}_{2}. Se substituir as expressões obtidas isso se confirma (checa-se algebraicamente e os termos de ordem até x_{1}^{2} coincidem), então as fórmulas estão corretas.

Passo 6

Começar a resolver (b): definir fluxos e composição de saída.
  • Tomar fluxos molares proporcionais F_{1}=2 (mol de solução com x_{1}=0,2) e F_{2}=1 (mol da solução com x_{1}=0,9).
  • Saída total F=F_{1}+F_{2}=3 (mol). A fração molar do componente 1 na mistura de saída é
x_{1}^{\text{out}}=\frac{F_{1}\,x_{1}^{(1)}+F_{2}\,x_{1}^{(2)}}{F}=\frac{2\cdot0,2+1\cdot0,9}{3}=\frac{1,3}{3}=0,433333\ldots
(ou exatamente \dfrac{13}{30}).

Passo 7

Balanço de energia para mistura contínua, sem trabalho além do PV (processo isobárico) e em regime estacionário.
  • Equação de balanço de entalpia por tempo: Q+\sum F_{\text{in}}H_{\text{in}}=F_{\text{out}}H_{\text{out}}.
  • Por mol de produto (dividindo por F) obtemos o calor necessário por mol de mistura que sai:
q=\frac{Q}{F}=H_{\text{out}}-\left(\frac{F_{1}}{F}H_{1}+\frac{F_{2}}{F}H_{2}\right).
  • Interpretação do sinal: se q>0 é preciso fornecer calor; se q<0 calor deve ser removido (processo liberou calor).

Passo 8

Calcular as entalpias molares dos alimentes e da saída usando a expressão de H_{m}(x_{1}).
  • Para a alimentação 1 ( x_{1}^{(1)}=0,2):
H_{1}= -1850-28240\cdot0,2+26800\cdot(0,2)^{2}=-1850-5648+1072=-6426\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • Para a alimentação 2 ( x_{1}^{(2)}=0,9):
H_{2}=-1850-28240\cdot0,9+26800\cdot(0,9)^{2}=-1850-25416+21708=-5558\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • Para a mistura de saída ( x_{1}^{\text{out}}=\dfrac{13}{30}\approx0,433333):
H_{\text{out}}=-1850-28240\cdot\frac{13}{30}+26800\left(\frac{13}{30}\right)^{2}.
Calcule numérico:
-28240\cdot\frac{13}{30}\approx-12237{,}3333, \qquad 26800\left(\frac{13}{30}\right)^{2}\approx5032{,}4444,
H_{\text{out}}\approx -1850-12237{,}3333+5032{,}4444\approx -9054{,}8889\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.

Passo 9

Calcular o calor por mol de saída q.
  • A média ponderada das entalpias das entradas (por mol de produto) é
\frac{F_{1}}{F}H_{1}+\frac{F_{2}}{F}H_{2}=\frac{2}{3}(-6426)+\frac{1}{3}(-5558)=-6136{,}6667\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • Portanto
q=H_{\text{out}}-\bigg(\frac{2}{3}H_{1}+\frac{1}{3}H_{2}\bigg)\approx -9054{,}8889-(-6136{,}6667)\approx -2918{,}2222\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
  • Interpretação: q<0 significa que a mistura libera calor; logo é preciso remover aproximadamente 2918{,}22\\ \mathrm{J} por mol de mistura saída.

Passo 10

Resumo dos resultados (pronto para checar rapidamente).
  • Expressões fechadas para as entalpias molares parciais e valor numérico do calor por mol de produto a ser removido.

Resposta

(a) \displaystyle \bar{H}_{1}(x_{1})=-30090+53600\,x_{1}-26800\,x_{1}^{2}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}
\displaystyle \bar{H}_{2}(x_{1})=-1850-26800\,x_{1}^{2}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}
(b) q\approx -2918{,}22\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} (calor a ser removido; mistura libera cerca de 2{,}918\\ \mathrm{kJ} por mol de produto).

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