Calcule a pressão exercida
Por 64 g de \mathrm{CH}_{4}, comportando-se como um gás de van der Waals, quando está confinado nas seguintes condições: (i) a 250,15 \mathrm{~K} em 2 \mathrm{~m}^{3}, (ii) a 800 K em 150 \mathrm{~cm}^{3}.
Dados:
a\left(\mathrm{atm} \mathrm{dm}^{6} \mathrm{~mol}^{-2}\right) b\left(10^{-2} \mathrm{dm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1}\right)
\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{4} 4,55 5,82
\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} 5,507 6,51
\mathrm{CH}_{4} 14,61 4,31

Passo 1

O que o exercício pede e quais dados temos:
  • Pedido: calcular a pressão exercida por 64\\ \mathrm{g} de \mathrm{CH}_{4}, tratando o gás pela equação de van der Waals, em duas situações:
    • (i) a 250{,}15\\ \mathrm{K} em 2\\ \mathrm{m}^{3},
    • (ii) a 800\\ \mathrm{K} em 150\\ \mathrm{cm}^{3}.
  • Massa do gás: 64\\ \mathrm{g}.
  • Valores tabelados para \mathrm{CH}_{4} (peguei esses números da tabela fornecida):
    • a = 14{,}61\\ \mathrm{atm\;dm^{6}\;mol^{-2}}.
    • b = 4{,}31 (na tabela aparece com o cabeçalho 10^{-2}\\ \mathrm{dm^{3}\;mol^{-1}}; portanto b = 4{,}31\times10^{-2}\\ \mathrm{dm^{3}\;mol^{-1}} = 0{,}0431\\ \mathrm{dm^{3}\;mol^{-1}}).
  • Constante dos gases ideais (no mesmo sistema de unidades que a e b):
    • R = 0{,}08206\\ \mathrm{atm\;dm^{3}\;mol^{-1}\;K^{-1}} (valor usual).
  • Observações importantes que vou usar depois:
    • Converter volumes para \mathrm{dm^{3}} (porque b está em \mathrm{dm^{3}\;mol^{-1}}):
      • 1\\ \mathrm{m^{3}} = 1000\\ \mathrm{dm^{3}}.
      • 1\\ \mathrm{cm^{3}} = 10^{-3}\\ \mathrm{dm^{3}} (ou 150\\ \mathrm{cm^{3}} = 0{,}150\\ \mathrm{dm^{3}}).
  • Resumo: preciso calcular P usando a equação de van der Waals para cada conjunto (n, V, T). Antes de calcular, vou achar n (número de mols) e verificar unidades e se existe algum problema físico (por exemplo V < n b).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A equação de van der Waals corrige a equação dos gases ideais para considerar forças intermoleculares e volume ocupado pelas moléculas. Ela é:
\left(P + a\frac{n^{2}}{V^{2}}\right)(V - n b) = n R T.
  • Aqui:
    • P é a pressão que queremos (em \mathrm{atm});
    • n é o número de mols ( \mathrm{mol});
    • V é o volume total ocupado pelo gás (em \mathrm{dm^{3}});
    • T é a temperatura (em \mathrm{K});
    • a e b são constantes de van der Waals (nas unidades dadas);
    • R é a constante dos gases.
  • Rearranjando para isolar P:
P = \frac{n R T}{V - n b} - a\frac{n^{2}}{V^{2}}.
  • Interpretação rápida das parcelas:
    • \dfrac{n R T}{V - n b} é parecido com a pressão ideal, mas o volume eficaz é V - n b (subtrai-se o volume “excluído” pelas moléculas).
    • a\dfrac{n^{2}}{V^{2}} corrige para as atrações intermoleculares (subtrai-se esse termo da pressão).

Passo 3

Conversões e cálculo do número de mols n (explicando passo a passo):
  • Massa molar aproximada do \mathrm{CH}_{4}: uso M = 16{,}00\\ \mathrm{g\;mol^{-1}} (átomos H≈1, C≈12 → 12+4\cdot1=16); isso facilita contas e é a aproximação usual em exercícios.
  • Portanto
n = \frac{\text{massa}}{M} = \frac{64\\ \mathrm{g}}{16{,}00\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}} = 4{,}00\\ \mathrm{mol}.
  • Relembrando o valor de b (pego da tabela e convertido): b = 4{,}31\times10^{-2}\\ \mathrm{dm^{3}\;mol^{-1}} = 0{,}0431\\ \mathrm{dm^{3}\;mol^{-1}}.
  • Valor de a (peguei da tabela): a = 14{,}61\\ \mathrm{atm\;dm^{6}\;mol^{-2}}.

Passo 4

Cálculo detalhado para o item (i): T=250{,}15\\ \mathrm{K} em V=2\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Converter o volume para \mathrm{dm^{3}}:
V = 2\\ \mathrm{m^{3}} = 2\times1000\\ \mathrm{dm^{3}} = 2000\\ \mathrm{dm^{3}}.
  • Calcular n b:
n b = 4{,}00\times0{,}0431\\ \mathrm{dm^{3}} = 0{,}1724\\ \mathrm{dm^{3}}.
  • Verificar V - n b:
V - n b = 2000 - 0{,}1724 = 1999{,}8276\\ \mathrm{dm^{3}}.
Comentário: V é muito maior que n b, então não há problema físico aqui; o volume disponível é praticamente V.
  • Calcular o termo \dfrac{n R T}{V - n b}:
n R T = 4{,}00\times0{,}08206\times250{,}15 = 0{,}32824\times250{,}15 \approx 82{,}109.
\frac{n R T}{V - n b} \approx \frac{82{,}109}{1999{,}8276}\\ \mathrm{atm} \approx 0{,}041055\\ \mathrm{atm}.
  • Calcular o termo de correção a\dfrac{n^{2}}{V^{2}}:
n^{2} = 4{,}00^{2} = 16{,}00.
V^{2} = (2000)^{2} = 4{,}000{,}000\\ \mathrm{dm^{6}}.
a\frac{n^{2}}{V^{2}} = 14{,}61\times\frac{16{,}00}{4{,}000{,}000} = \frac{233{,}76}{4{,}000{,}000} \approx 0{,}00005844\\ \mathrm{atm}.
  • Agora P:
P = 0{,}041055\\\ -\\\ 0{,}00005844 \approx 0{,}0410006\\ \mathrm{atm}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos):
P \approx 0{,}0410\\ \mathrm{atm}.
  • Conversão para \mathrm{kPa} (opcional, para intuição): 1\\ \mathrm{atm}=101{,}325\\ \mathrm{kPa},
P \approx 0{,}0410\times101{,}325 \approx 4{,}16\\ \mathrm{kPa}.
Comentário pedagógico: a correção de van der Waals ( a n^{2}/V^{2}) é muito pequena neste caso porque o gás está muito pouco comprimido (volume grande). A pressão é muito próxima da obtida pela lei dos gases ideais.

Passo 5

Cálculo detalhado para o item (ii): T=800\\ \mathrm{K} em V=150\\ \mathrm{cm^{3}}.
  • Converter o volume para \mathrm{dm^{3}}:
V = 150\\ \mathrm{cm^{3}} = 150\times10^{-3}\\ \mathrm{dm^{3}} = 0{,}150\\ \mathrm{dm^{3}}.
  • Calcular n b novamente (valor já obtido):
n b = 0{,}1724\\ \mathrm{dm^{3}}.
  • Comparar V e n b:
V - n b = 0{,}150 - 0{,}1724 = -0{,}0224\\ \mathrm{dm^{3}}.
Isto significa que V < n b: o volume do recipiente é menor que o volume excluído pelas moléculas (o próprio parâmetro n b). Física direta: não é possível ter quatro mols de \mathrm{CH}_{4} ocupando apenas 0{,}150\\ \mathrm{dm^{3}} sem que ocorra compressão extrema, liquefação ou que a hipótese de gás (mesmo não ideal) deixe de se aplicar. O parâmetro b representa o volume efetivo ocupado pelas moléculas; se V for menor que n b a expressão (V - n b) fica negativa e a forma básica da equação de van der Waals não descreve um gás em equilíbrio simples naquele estado.
  • Se insistirmos em aplicar a fórmula diretamente (apenas para ver o número formal), obtemos:
n R T = 4{,}00\times0{,}08206\times800 = 0{,}32824\times800 = 262{,}592.
\frac{n R T}{V - n b} = \frac{262{,}592}}{-0{,}0224} \approx -11717{,}86\\ \mathrm{atm}.
a\frac{n^{2}}{V^{2}} = 14{,}61\times\frac{16}{(0{,}150)^{2}} = \frac{233{,}76}{0{,}0225} \approx 10389{,}33\\ \mathrm{atm}.
P = -11717{,}86 - 10389{,}33 \approx -22107{,}19\\ \mathrm{atm}.
  • Interpretação: esse valor é matematicamente o que a fórmula dá, mas é fisicamente absurdo (pressão negativa enorme). O sinal negativo e a magnitude enorme mostram que a condição V < n b é impossível para um gás no estado descrito; na prática o sistema liquefaria, formaria fases condensadas ou simplesmente não poderia estar como “gás” nas condições assumidas.
Conclusão para (ii): não faz sentido físico aplicar diretamente a equação de van der Waals quando V \le n b. Deve-se reconhecer que o volume é menor que o volume excluído, e que a equação de van der Waals, no seu uso direto para um gás homogêneo, não é aplicável. Se for necessário tratar quantitativamente, é preciso considerar fases (liquefação) ou reduzir n / aumentar V.

Resposta

(i) P = 0{,}0410\\ \mathrm{atm} \approx 4{,}16\\ \mathrm{kPa}
(ii) Não é fisicamente possível aplicar a equação de van der Waals porque V = 0{,}150\\ \mathrm{dm^{3}} < n b = 0{,}1724\\ \mathrm{dm^{3}}; a equação não é aplicável (valor formal obtido: P \approx -2{,}21\times10^{4}\\ \mathrm{atm}, não físico).

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