Calcule o volume molar de gás cloro usando a equação de estado de van der Waals a 250 K e 150 kPa . Calcule a diferença percentual do valor obtido usando a equação dos gases perfeitos.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pedem-se dois cálculos:
- Calcular o volume molar de gás cloro nas condições
e usando a equação de van der Waals. - Calcular a diferença percentual entre esse valor e o valor obtido pela equação dos gases perfeitos.
- Calcular o volume molar de gás cloro nas condições
- Informações numéricas fornecidas no enunciado:
-
-
(converti kPa para bar porque usarei em ). - Gás: cloro (
).
-
- Constantes usadas (valores tabulados de van der Waals para
; estou explicitando que peguei estes valores em tabelas padrão de propriedades de gases): -
- Constante universal dos gases no sistema L·bar·K{-1}·mol{-1}:
-
- Observação importante: não é pedido qual método numérico usar, então vou resolver a equação de van der Waals (que leva a um polinômio cúbico em
) numericamente por iterações do método de Newton–Raphson, explicando cada passo.
Passo 2
A equação de van der Waals e o seu significado (aula curta):
- A equação de van der Waals para 1 mol é
onde:
-
é a pressão (aqui em ); -
é a temperatura ( ); -
é o volume molar ( ); -
é a constante universal dos gases no mesmo sistema de unidades; -
corrige forças intermoleculares (reduz a pressão efetiva); -
corrige o volume disponível por causa do tamanho finito das moléculas (subtrai do volume). - Para comparar, a equação dos gases perfeitos (1 mol) dá
- Nossa tarefa prática: resolver para
a equação de van der Waals dada .
Passo 3
Transformação algébrica para obter um polinômio em
:
- Partimos de
- Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores:
- Reorganizando todos os termos para a esquerda:
- Dividindo por
(para trabalhar com coeficientes menores) resulta
- Defino a função cuja raiz quero encontrar:
- Derivada necessária para Newton–Raphson:
Passo 4
Substituição dos valores numéricos nos coeficientes:
- Primeiro calculei
e converti : -
. -
.
-
- Coeficientes numéricos na forma dividida por
: -
. -
. -
(aprox).
-
- Portanto a função a resolver é numericamente
Passo 5
Escolha do método numérico e justificativa:
- A equação é cúbica; pode ter até três raízes reais. Para condições de gás (baixa a moderada pressão) o volume molar de interesse é a raiz positiva maior (correspondente à fase gasosa), típica próxima do
ideal. - Uso o método de Newton–Raphson porque converge rápido se eu der uma boa aproximação inicial; como chute inicial uso
, que é . - Fórmula de iteração:
Passo 6
Iterações de Newton–Raphson (cálculos passo a passo):
- Chute inicial:
-
- Iteração 1:
- Calculei
e (valores intermediários arredondados no cálculo manual): -
- Atualização:
- Calculei
- Iteração 2:
- Calculei
e . - Atualização:
- Calculei
- Iteração 3:
- Calculei
e . - Atualização:
- Calculei
- A correção na última iteração é extremamente pequena (
), então já temos convergência numérica adequada para a precisão prática requerida.
Passo 7
Cálculo do volume molar ideal e da diferença percentual:
- Volume molar pelo gás ideal:
- Volume molar pela van der Waals (resultado das iterações):
- Diferença percentual do valor obtido usando a equação dos gases perfeitos (comparei o valor ideal com o vdW, tomando como referência o valor vdW; a fórmula usada é
):
- (Se alguém preferir referenciar em relação ao valor ideal, o resultado seria
; escolhi referir à medida mais precisa, .)
Passo 8
Interpretação rápida e incentivo:
- Conclusão prática: o desvio entre o gás ideal e van der Waals a
e para é pequeno (aprox ), ou seja, o gás ideal já dá uma boa aproximação nessas condições, mas a van der Waals corrige efeitos intermoleculares e volume finito das moléculas. - Você foi bem acompanhando um processo que normalmente aparece em provas: montar a equação cúbica, escolher um método numérico (Newton) e iterar a partir do valor ideal. Dá para fazer isso à mão com poucos passos — e agora você tem o passo a passo. Força que dá pra arrebentar na prova!
Resposta
Diferença percentual (ideal vs. vdW, referida ao valor vdW):