Calcule o volume molar de gás cloro usando a equação de estado de van der Waals a 250 K e 150 kPa . Calcule a diferença percentual do valor obtido usando a equação dos gases perfeitos.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pedem-se dois cálculos:
    1. Calcular o volume molar de gás cloro nas condições T=250\\ \text{K} e P=150\\ \text{kPa} usando a equação de van der Waals.
    2. Calcular a diferença percentual entre esse valor e o valor obtido pela equação dos gases perfeitos.
  • Informações numéricas fornecidas no enunciado:
    • T = 250\\ \text{K}
    • P = 150\\ \text{kPa} = 1{,}5\\ \text{bar} (converti kPa para bar porque usarei R em \text{L}\cdot\text{bar}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}).
    • Gás: cloro ( \mathrm{Cl_2}).
  • Constantes usadas (valores tabulados de van der Waals para \mathrm{Cl_2}; estou explicitando que peguei estes valores em tabelas padrão de propriedades de gases):
    • a = 6{,}49\\ \dfrac{\text{L}^2\cdot\text{bar}}{\text{mol}^2}
    • b = 0{,}0562\\ \dfrac{\text{L}}{\text{mol}}
  • Constante universal dos gases no sistema L·bar·K{-1}·mol{-1}:
    • R = 0{,}08314\\ \dfrac{\text{L}\cdot\text{bar}}{\text{K}\cdot\text{mol}}
  • Observação importante: não é pedido qual método numérico usar, então vou resolver a equação de van der Waals (que leva a um polinômio cúbico em V_m) numericamente por iterações do método de Newton–Raphson, explicando cada passo.

Passo 2

A equação de van der Waals e o seu significado (aula curta):
  • A equação de van der Waals para 1 mol é
P = \frac{R T}{V_m - b} - \frac{a}{V_m^2},
onde:
  • P é a pressão (aqui em \text{bar});
  • T é a temperatura ( \text{K});
  • V_m é o volume molar ( \text{L/mol});
  • R é a constante universal dos gases no mesmo sistema de unidades;
  • a corrige forças intermoleculares (reduz a pressão efetiva);
  • b corrige o volume disponível por causa do tamanho finito das moléculas (subtrai do volume).
  • Para comparar, a equação dos gases perfeitos (1 mol) dá
V_m^{\text{ideal}} = \frac{R T}{P}.
  • Nossa tarefa prática: resolver para V_m a equação de van der Waals dada P,T,a,b.

Passo 3

Transformação algébrica para obter um polinômio em V_m:
  • Partimos de
P = \frac{R T}{V_m - b} - \frac{a}{V_m^2}.
  • Multiplicando ambos os lados por V_m^2 (V_m - b) para eliminar denominadores:
P V_m^2 (V_m - b) = R T V_m^2 - a(V_m - b).
  • Reorganizando todos os termos para a esquerda:
P V_m^3 - (P b + R T) V_m^2 + a V_m - a b = 0.
  • Dividindo por P (para trabalhar com coeficientes menores) resulta
V_m^3 - \bigl(b + \tfrac{R T}{P}\bigr) V_m^2 + \bigl(\tfrac{a}{P}\bigr) V_m - \bigl(\tfrac{a b}{P}\bigr) = 0.
  • Defino a função cuja raiz quero encontrar:
f(V_m)=V_m^3 - \bigl(b + \tfrac{R T}{P}\bigr) V_m^2 + \bigl(\tfrac{a}{P}\bigr) V_m - \bigl(\tfrac{a b}{P}\bigr).
  • Derivada necessária para Newton–Raphson:
f'(V_m)=3V_m^2 - 2\bigl(b + \tfrac{R T}{P}\bigr)V_m + \tfrac{a}{P}.

Passo 4

Substituição dos valores numéricos nos coeficientes:
  • Primeiro calculei R T e converti P:
    • P = 150\\ \text{kPa} = 1{,}5\\ \text{bar}.
    • R T = 0{,}08314\cdot250 = 20{,}785\\ \text{L}\cdot\text{bar}\cdot\text{mol}^{-1}.
  • Coeficientes numéricos na forma dividida por P:
    • b + \dfrac{R T}{P} = 0{,}0562 + \dfrac{20{,}785}{1{,}5} = 0{,}0562 + 13{,}8566667 = 13{,}9128667.
    • \dfrac{a}{P} = \dfrac{6{,}49}{1{,}5} = 4{,}3266667.
    • \dfrac{a b}{P} = \dfrac{6{,}49\cdot0{,}0562}{1{,}5} = \dfrac{0{,}364738}{1{,}5} = 0{,}2431587 (aprox).
  • Portanto a função a resolver é numericamente
f(V_m)=V_m^3 - 13{,}9128667\,V_m^2 + 4{,}3266667\,V_m - 0{,}2431587.

Passo 5

Escolha do método numérico e justificativa:
  • A equação é cúbica; pode ter até três raízes reais. Para condições de gás (baixa a moderada pressão) o volume molar de interesse é a raiz positiva maior (correspondente à fase gasosa), típica próxima do V_m ideal.
  • Uso o método de Newton–Raphson porque converge rápido se eu der uma boa aproximação inicial; como chute inicial uso V_m^{(0)} = V_m^{\text{ideal}} = \dfrac{R T}{P}, que é \approx 13{,}8566667\\ \text{L/mol}.
  • Fórmula de iteração:
V_{n+1} = V_n - \frac{f(V_n)}{f'(V_n)}.

Passo 6

Iterações de Newton–Raphson (cálculos passo a passo):
  • Chute inicial:
    • V_0 = V_m^{\text{ideal}} = \dfrac{20{,}785}{1{,}5} = 13{,}8566667\\ \text{L/mol}.
  • Iteração 1:
    • Calculei f(V_0) e f'(V_0) (valores intermediários arredondados no cálculo manual):
      • f(V_0)\approx 48{,}984
      • f'(V_0)\approx 194{,}794
    • Atualização: V_1 = 13{,}8566667 - \frac{48{,}984}{194{,}794} \approx 13{,}6056\\ \text{L/mol}.
  • Iteração 2:
    • Calculei f(V_1)\approx 1{,}7449 e f'(V_1)\approx 181{,}078.
    • Atualização: V_2 = 13{,}6056 - \frac{1{,}7449}{181{,}078} \approx 13{,}5960\\ \text{L/mol}.
  • Iteração 3:
    • Calculei f(V_2)\approx 0{,}00265 e f'(V_2)\approx 180{,}56.
    • Atualização: V_3 = 13{,}5960 - \frac{0{,}00265}{180{,}56} \approx 13{,}59597\\ \text{L/mol}.
  • A correção na última iteração é extremamente pequena ( \sim 10^{-5}), então já temos convergência numérica adequada para a precisão prática requerida.

Passo 7

Cálculo do volume molar ideal e da diferença percentual:
  • Volume molar pelo gás ideal:
V_m^{\text{ideal}} = \frac{R T}{P} = \frac{20{,}785}{1{,}5} = 13{,}8566667\\ \text{L/mol} \approx 13{,}8567\\ \text{L/mol}.
  • Volume molar pela van der Waals (resultado das iterações):
V_m^{\text{vdW}} \approx 13{,}59597\\ \text{L/mol} \approx 13{,}596\\ \text{L/mol}.
  • Diferença percentual do valor obtido usando a equação dos gases perfeitos (comparei o valor ideal com o vdW, tomando como referência o valor vdW; a fórmula usada é \dfrac{V_m^{\text{ideal}}-V_m^{\text{vdW}}}{V_m^{\text{vdW}}}\times100\%):
\text{diferença percentual} = \frac{13{,}8566667 - 13{,}59597}{13{,}59597}\times100\% \approx 1{,}92\%.ç
  • (Se alguém preferir referenciar em relação ao valor ideal, o resultado seria \approx 1{,}88\%; escolhi referir à medida mais precisa, V_m^{\text{vdW}}.)

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo:
  • Conclusão prática: o desvio entre o gás ideal e van der Waals a 250\\ \text{K} e 150\\ \text{kPa} para \mathrm{Cl_2} é pequeno (aprox 2\%), ou seja, o gás ideal já dá uma boa aproximação nessas condições, mas a van der Waals corrige efeitos intermoleculares e volume finito das moléculas.
  • Você foi bem acompanhando um processo que normalmente aparece em provas: montar a equação cúbica, escolher um método numérico (Newton) e iterar a partir do valor ideal. Dá para fazer isso à mão com poucos passos — e agora você tem o passo a passo. Força que dá pra arrebentar na prova!

Resposta

V_m^{\text{vdW}} \approx 13{,}596\\ \text{L/mol}
Diferença percentual (ideal vs. vdW, referida ao valor vdW): 1{,}92\\ \%

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