2.120 Determine a massa de gás metano contida em um tanque de
a
. Estime o erro percentual na determinação dessa massa decorrente do emprego do modelo de gás ideal.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) a massa de metano contida num tanque de volume
nas condições
e
; (2) estimar o erro percentual cometido se eu usar o modelo de gás ideal para obter essa massa.
Dados fornecidos (vou colocá‑los explicitamente):
Dados fornecidos (vou colocá‑los explicitamente):
Também vou precisar de constantes conhecidas do metano e do gás perfeito:
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Cálculo pela lei dos gases ideais (primeira aproximação). A lei dos gases ideais é
onde
é a pressão,
o volume,
o número de mols,
a constante universal dos gases e
a temperatura absoluta. Isolando
:
Agora calculo
com os valores numéricos:
A massa correspondente (usando
) é
Observação: este é o valor obtido pelo modelo de gás ideal — já anoto para comparar depois com o valor realista.
Passo 3
Por que o gás ideal pode falhar aqui e como corrigir? Em pressões moderadas/altas e temperaturas próximas ou acima de
os efeitos de não idealidade aparecem. Uma forma prática de corrigir é usar uma equação de estado realista; eu escolho a equação de Peng–Robinson (PR) — é bastante usada, relativamente simples e dá boa precisão para hidrocarbonetos como o metano. A ideia é obter o fator de compressibilidade
e usar
Explico a PR e os parâmetros que vou usar.
Passo 4
Equação de Peng–Robinson (forma cúbica em
). Definições úteis:
onde
com
,
e fator acêntrico
da substância. Para o metano uso valores conhecidos:
Agora calculo passo a passo.
Passo 5
Cálculo de
,
e
:
Passo 6
Cálculo de
e
:
Primeiro
(unidades consistentes). Assim
Agora
Passo 7
Cálculo de
e
e forma cúbica em
. Primeiro já calculei
no Passo 2, então
.
A equação cúbica para
na PR é
Substituindo os valores:
Passo 8
Resolvendo a cúbica (procuro a raiz gasosa,
aproximadamente próxima a 1). Faço avaliações sucessivas:
Interpolando entre
e
encontro a raiz próxima de
(Verifiquei avaliando
, logo
é a raiz física que representa o estado gasoso.)
Passo 9
Cálculo do número de mols e da massa usando
:
Portanto a massa correta (segundo Peng–Robinson) é cerca de
.
Passo 10
Estimativa do erro percentual causado por usar o gás ideal. O erro absoluto é
O erro percentual (comparado ao valor real, ou seja, fração que o modelo ideal deixa de estimar corretamente) é
Interpretação: o modelo de gás ideal subestima a massa em cerca de
nas condições dadas.
Resposta
Erro percentual aproximado devido ao modelo de gás ideal: