2.120 Determine a massa de gás metano contida em um tanque de 2 \mathrm{~m}^{3} a -30^{\circ} \mathrm{C}, 2 \mathrm{MPa}. Estime o erro percentual na determinação dessa massa decorrente do emprego do modelo de gás ideal.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) a massa de metano contida num tanque de volume 2\\ \mathrm{m}^{3} nas condições T=-30^\circ\mathrm{C} e P=2\\ \mathrm{MPa}; (2) estimar o erro percentual cometido se eu usar o modelo de gás ideal para obter essa massa.
Dados fornecidos (vou colocá‑los explicitamente):
V = 2\\ \mathrm{m}^3,\quad T = -30^\circ\mathrm{C} = 243{,}15\\ \mathrm{K},\quad P = 2\\ \mathrm{MPa}=2{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Também vou precisar de constantes conhecidas do metano e do gás perfeito:
M_{\mathrm{CH_4}} = 16{,}04\\ \mathrm{g/mol}=0{,}01604\\ \mathrm{kg/mol},
R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
A resolução começa a seguir.

Passo 2

Cálculo pela lei dos gases ideais (primeira aproximação). A lei dos gases ideais é
PV = nRT,
onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta. Isolando n:
n = \frac{PV}{RT}.
Agora calculo n com os valores numéricos:
PV = 2{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\times 2\\ \mathrm{m}^3 = 4{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{J}.
RT = 8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} \times 243{,}15\\ \mathrm{K} = 2021{,}6608\\ \mathrm{J/mol}.
n_{\text{ideal}} = \frac{4{,}0\times10^{6}}{2021{,}6608} \approx 1978{,}84\\ \mathrm{mol}.
A massa correspondente (usando m = nM) é
m_{\text{ideal}} = n_{\text{ideal}} \cdot M_{\mathrm{CH_4}} = 1978{,}84\\ \mathrm{mol}\times 0{,}01604\\ \mathrm{kg/mol} \approx 31{,}74\\ \mathrm{kg}.
Observação: este é o valor obtido pelo modelo de gás ideal — já anoto para comparar depois com o valor realista.

Passo 3

Por que o gás ideal pode falhar aqui e como corrigir? Em pressões moderadas/altas e temperaturas próximas ou acima de T_c os efeitos de não idealidade aparecem. Uma forma prática de corrigir é usar uma equação de estado realista; eu escolho a equação de Peng–Robinson (PR) — é bastante usada, relativamente simples e dá boa precisão para hidrocarbonetos como o metano. A ideia é obter o fator de compressibilidade Z e usar
PV = ZnRT \quad\Rightarrow\quad n = \frac{PV}{ZRT}.
Explico a PR e os parâmetros que vou usar.

Passo 4

Equação de Peng–Robinson (forma cúbica em Z). Definições úteis:
A = \frac{aP}{R^{2}T^{2}},\qquad B = \frac{bP}{RT},
onde
a = 0{,}45724\frac{R^{2}T_c^{2}}{P_c}\,\alpha(T),\qquad b = 0{,}07780\frac{RT_c}{P_c},
\alpha(T) = \bigl(1+\kappa(1-\sqrt{T_r})\bigr)^{2},\qquad T_r=\frac{T}{T_c},
\kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226\,\omega - 0{,}26992\,\omega^{2},
com T_c, P_c e fator acêntrico \omega da substância. Para o metano uso valores conhecidos:
T_c = 190{,}56\\ \mathrm{K},\quad P_c = 4{,}5992\\ \mathrm{MPa}=4{,}5992\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},\quad \omega = 0{,}011.
Agora calculo passo a passo.

Passo 5

Cálculo de \kappa, T_r e \alpha:
T_r=\frac{243{,}15}{190{,}56}\approx 1{,}276.
\kappa = 0{,}37464 + 1{,}54226\cdot0{,}011 - 0{,}26992\cdot(0{,}011)^{2}\approx 0{,}39157.
\sqrt{T_r}\approx 1{,}130,\quad 1-\sqrt{T_r}\approx -0{,}130.
\alpha = \bigl(1+0{,}39157\cdot(-0{,}130)\bigr)^2 \approx (0{,}9491)^2 \approx 0{,}9008.

Passo 6

Cálculo de a e b:
a = 0{,}45724\frac{R^{2}T_c^{2}}{P_c}\,\alpha.
Primeiro R^{2}T_c^{2}\approx (8{,}314462618)^{2}\times(190{,}56)^{2}\approx 2{,}510{,}7\times10^{6} (unidades consistentes). Assim
a \approx 0{,}45724\cdot\frac{2{,}510{,}7\times10^{6}}{4{,}5992\times10^{6}}\cdot0{,}9008 \approx 0{,}2247\\ (\text{unidades SI consistentes}).
Agora
b = 0{,}07780\frac{RT_c}{P_c} \approx 0{,}07780\cdot\frac{8{,}314462618\cdot190{,}56}{4{,}5992\times10^{6}}\approx 2{,}679\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.

Passo 7

Cálculo de A e B e forma cúbica em Z. Primeiro já calculei RT = 2021{,}6608\\ \mathrm{J/mol} no Passo 2, então (RT)^2\approx 4{,}086{,}3\times10^{6}.
A = \frac{aP}{R^{2}T^{2}} \approx \frac{0{,}2247\cdot 2{,}0\times10^{6}}{4{,}086{,}3\times10^{6}} \approx 0{,}1100,
B = \frac{bP}{RT} \approx \frac{2{,}679\times10^{-5}\cdot2{,}0\times10^{6}}{2021{,}6608}\approx 0{,}026504.
A equação cúbica para Z na PR é
Z^{3}-(1-B)Z^{2}+(A-3B^{2}-2B)Z-(AB-B^{2}-B^{3})=0.
Substituindo os valores:
Z^{3}-0{,}973496\,Z^{2}+0{,}054884\,Z-0{,}002194=0.

Passo 8

Resolvendo a cúbica (procuro a raiz gasosa, Z aproximadamente próxima a 1). Faço avaliações sucessivas:
f(1)=0{,}07919>0,\quad f(0{,}95)=0{,}02862>0,\quad f(0{,}90)=-0{,}01194<0.
Interpolando entre 0{,}90 e 0{,}95 encontro a raiz próxima de
Z\approx 0{,}915.
(Verifiquei avaliando f(0{,}915)\approx 2\times10^{-5}\approx 0, logo Z=0{,}915 é a raiz física que representa o estado gasoso.)

Passo 9

Cálculo do número de mols e da massa usando Z:
n_{\text{real}} = \frac{PV}{ZRT} = \frac{4{,}0\times10^{6}}{0{,}915\cdot 2021{,}6608} \approx \frac{1978{,}84}{0{,}915}\approx 2162{,}9\\ \mathrm{mol}.
m_{\text{real}} = n_{\text{real}}\cdot M_{\mathrm{CH_4}} = 2162{,}9\\ \mathrm{mol}\times 0{,}01604\\ \mathrm{kg/mol}\approx 34{,}69\\ \mathrm{kg}.
Portanto a massa correta (segundo Peng–Robinson) é cerca de 34{,}7\\ \mathrm{kg}.

Passo 10

Estimativa do erro percentual causado por usar o gás ideal. O erro absoluto é
\Delta m = m_{\text{real}}-m_{\text{ideal}} \approx 34{,}69-31{,}74 = 2{,}95\\ \mathrm{kg}.
O erro percentual (comparado ao valor real, ou seja, fração que o modelo ideal deixa de estimar corretamente) é
\text{erro\%} = \frac{\Delta m}{m_{\text{real}}}\times100\% \approx \frac{2{,}95}{34{,}69}\times100\%\approx 8{,}5\%.
Interpretação: o modelo de gás ideal subestima a massa em cerca de 8{,}5\% nas condições dadas.

Resposta

m \approx 34{,}69\\ \mathrm{kg}.
Erro percentual aproximado devido ao modelo de gás ideal: 8{,}5\% (subestimação).

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