2.112 Um conjunto cilindro-pistão-mola contém R-410a inicialmente a 15^{\circ} \mathrm{C} e título igual a 1.0 fluido é expandido em um processo em que P=C v^{-1} até que a pressão se torne igual a 200 kPa . Determine a temperatura e o volume específico finais.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo: \n
  • Dado: a substância é R-410a, inicialmente em T_1 = 15^\circ\mathrm{C} e qualidade (título) x_1 = 1{,}0. \n
  • Dado: o processo de expansão satisfaz \;P = C\,v^{-1}\; (ou seja \;P v = C\;, constante ao longo do processo). \n
  • Dado: o processo termina quando P_2 = 200\\ \mathrm{kPa}. \n
  • Pedido: determinar a temperatura final T_2 e o volume específico final v_2. \n
    Informações que o enunciado fornece explicitamente: \,T_1=15^\circ\mathrm{C}, x_1=1{,}0, relação P v = C, e P_2=200\\ \mathrm{kPa}. \n
    Informações necessárias e que ainda não temos explicitamente: as propriedades termodinâmicas do R-410a (pressão de saturação em 15^\circ\mathrm{C}, o volume específico do vapor saturado em 15^\circ\mathrm{C}, e as propriedades de saturação / superaquecimento em P_2). Essas propriedades normalmente são obtidas nas tabelas de propriedades do R-410a. \n

Passo 2

Entendimento do estado inicial e como obter os dados iniciais (aula rápida sobre qualidade e tabelas): \n
  • Quando a qualidade é \;x=1{,}0\;, o fluido está em vapor saturado (não há líquido). Isso significa que o volume específico inicial é o volume específico do vapor saturado à temperatura dada. Em fórmulas: \n
v_1 = v_g\bigl(T_1\bigr)
onde v_g(T_1) é o volume específico do vapor saturado à temperatura \;T_1. \n
  • A pressão inicial P_1 é a pressão de saturação correspondente a \;T_1: \n
P_1 = P_\text{sat}\bigl(T_1\bigr).
Como estamos tratando um refrigerante real, esses dois números ( P_1 e v_1) devem ser lidos nas tabelas de saturação do R-410a para T_1=15^\circ\mathrm{C}. \n
(Explicação didática curta: nas tabelas de saturação, para cada temperatura há uma linha com P_\text{sat}, v_f (liquido saturado), v_g (vapor saturado), entalpias, entropias etc. Como x_1=1, usamos v_g. Se a qualidade fosse entre 0 e 1, usaríamos v = (1-x)v_f + x v_g.) \n

Passo 3

Determinar a constante do processo C usando o estado inicial: \n
  • A relação do processo é P v = C. Avaliando no estado 1: \n
C = P_1\,v_1.
  • Em palavras: multiplico a pressão saturada em 15^\circ\mathrm{C} pelo volume específico do vapor saturado nessa mesma temperatura. \n
    (Atenção às unidades: se P nas tabelas vem em \mathrm{kPa} e v em \mathrm{m^3/kg}, então C terá unidades \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m^3/kg}; isso é consistente para calcular v_2 = C/P_2.) \n

Passo 4

Calcular o volume específico final v_2 em termos das propriedades tabeladas: \n
  • Usando P_2 e C: \n
v_2 = \frac{C}{P_2} = \frac{P_1\,v_1}{P_2} = \frac{P_{\text{sat}}(15^\circ\mathrm{C})\; v_g(15^\circ\mathrm{C})}{200\\ \mathrm{kPa}}.
  • Interpretação prática: pegue P_\text{sat} e v_g para 15^\circ\mathrm{C} nas tabelas do R-410a, multiplique e divida por 200\\ \mathrm{kPa}. O resultado será v_2 em \mathrm{m^3/kg} (desde que usemos unidades consistentes). \n

Passo 5

Determinar a fase do fluido no estado 2 (aula sobre comparação com tabelas de saturação): \n
  • Para saber se o ponto final é líquido comprimido, mistura bifásica, ou vapor superaquecido, compare v_2 com os volumes específicos de saturação à pressão P_2: \n
v_f(P_2)\quad\text{e}\quad v_g(P_2),
valores que se obtêm nas tabelas de saturação do R-410a para a pressão P_2=200\\ \mathrm{kPa} (ou, equivalentemente, procurar na tabela por pressão e ler v_f e v_g). \n
  • Casos: \n
    1. Se \;v_2 < v_f(P_2)\; então o fluido é líquido comprimido. \n
    2. Se \;v_f(P_2) < v_2 < v_g(P_2)\; então o fluido está em mistura bifásica e a qualidade final é \n
    x_2 = \frac{v_2 - v_f(P_2)}{v_g(P_2) - v_f(P_2)}.
    1. Se \;v_2 > v_g(P_2)\; então o fluido é vapor superaquecido. \n
  • Observação: se o estado for bifásico, a temperatura final T_2 é simplesmente a temperatura de saturação à pressão P_2: \n
T_2 = T_\text{sat}(P_2).
Essa é uma consequência física importante: num equilíbrio bifásico, T e P estão ligados pela curva de saturação. \n

Passo 6

Como determinar T_2 em cada caso (aula prática sobre tabelas e interpolação): \n
  • Caso bifásico: \;T_2 = T_\text{sat}(P_2). Basta ler a temperatura de saturação correspondente a P_2=200\\ \mathrm{kPa} nas tabelas (ou ler pela coluna de pressão e associar a temperatura na mesma linha). \n
  • Caso líquido comprimido: é preciso usar tabelas de líquido comprimido (ou aproximar usando as propriedades do líquido saturado a uma temperatura próxima), pois a temperatura não é dada diretamente por P_2 se o líquido estiver comprimido. Geralmente, para problemas de prova, fica-se com aproximação T_2 \approx T_\text{sat}(P_2) se a compressão for pequena, ou usa-se tabelas/curvas específicas. \n
  • Caso superaquecido: nas tabelas superaquecidas do R-410a, para a pressão P_2 existe uma coluna com várias temperaturas e, para cada temperatura, vem listado o volume específico v (ou a densidade). Você então localiza na coluna de P_2 os dois valores de temperatura que cercam o v_2 e interpola linearmente para achar T_2. \n
  • Se, por alguma razão, você não tiver a tabela de superaquecimento mas confiar em aproximação de gás ideal, pode usar \n
v_2 \approx \frac{R\,T_2}{P_2}
onde R é a constante dos gases específicos do R-410a (valor que também precisa vir de propriedades). Então \n
T_2 \approx \frac{P_2\,v_2}{R}.
Atenção: essa aproximação pode ter erro grande para refrigerantes reais próximos à saturação; usar só se tabelas não estiverem disponíveis e se aceitar aproximação. \n

Passo 7

Resumo prático passo a passo que você deve executar com as tabelas em mãos (modelo direto para a prova): \n
  1. Na tabela de saturação do R-410a, linha T=15^\circ\mathrm{C}: leia \;P_1 = P_\text{sat}(15^\circ\mathrm{C})\; e \;v_1 = v_g(15^\circ\mathrm{C}). \n
  2. Calcule C = P_1\,v_1. \n
  3. Calcule \;v_2 = C / P_2 = \dfrac{P_1\,v_1}{200\\ \mathrm{kPa}}. \n
  4. Na tabela de saturação, na linha correspondente a P=200\\ \mathrm{kPa} (ou procurando por P=200\\ \mathrm{kPa}), leia v_f(P_2), v_g(P_2) e T_\text{sat}(P_2). \n
  5. Compare v_2 com v_f e v_g: \n
    • Se v_f < v_2 < v_g então T_2 = T_\text{sat}(P_2) e x_2 = (v_2-v_f)/(v_g-v_f). \n
    • Se v_2 > v_g use a tabela de superaquecimento a P=200\\ \mathrm{kPa} e interpole para achar T_2 correspondente a v_2. \n
    • Se v_2 < v_f trate como líquido comprimido (usar tabelas apropriadas ou aproximar). \n
      Esse é exatamente o roteiro que faz uma prova: ler TABELAS → aplicar fórmula v_2 = P_1 v_1 / P_2 → comparar → interpolar se necessário. \n

Passo 8

Exemplo simbólico final (sem números das tabelas): \n
v_2 = \frac{P_{\text{sat}}(15^\circ\mathrm{C})\;v_g(15^\circ\mathrm{C})}{200\\ \mathrm{kPa}}.
Depois de obter v_2: \n
  • Se v_f(200\\ \mathrm{kPa}) < v_2 < v_g(200\\ \mathrm{kPa}), então \;T_2 = T_\text{sat}(200\\ \mathrm{kPa}). \n
  • Se v_2 > v_g(200\\ \mathrm{kPa}), determine T_2 pela tabela de superaquecimento em P=200\\ \mathrm{kPa} (interpolando). \n
  • Se v_2 < v_f(200\\ \mathrm{kPa}), é líquido comprimido (usar tabelas ou aproximação). \n
    Pronto — esse conjunto de passos explica com calma como você resolve na prova sem pular etapa nenhuma: primeiro lê as tabelas no estado inicial, calcula v_2 via conservação da relação P v = C, depois compara com saturação em P_2 para decidir a fase e finalmente lê/interpola para obter T_2. \n

Resposta

Não é possível determinar numericamente T_2 e v_2 porque faltam as tabelas/propriedades do R-410a (valores de P_{\text{sat}}(15^\circ\mathrm{C}), v_g(15^\circ\mathrm{C}) e as propriedades em P_2=200\\ \mathrm{kPa}).

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