13.159 Dois carros idênticos
e
estão em repouso em um pátio portuário de carga com os freios livres. Um carro
, de estilo um pouco diferente, mas de mesma massa, foi empurrado por estivadores e bate no carro
com uma velocidade de
. Sabendo que o coeficiente de restituição é de 0,8 entre
e
e de 0,5 entre
e
, determine a velocidade de cada carro após a ocorrência de todas as colisões.
Passo 1
O enunciado dá os três carros idênticos
,
e
, todos com a mesma massa. Informações relevantes (peguei a velocidade indicada na imagem):
- Velocidades iniciais:
-
. -
. -
(movendo-se em direção a ; escolhemos como positivo o sentido do movimento de ).
-
- Coeficientes de restituição:
- entre
e : . - entre
e : .
- entre
- As massas são iguais (denotar cada massa por
).
O que o problema pede:
- Determinar a velocidade final de cada carro
, e após todas as colisões.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Conservação do momento linear em colisões isoladas unidimensionais: para duas massas
e que colidem, o momento total antes é igual ao momento total depois:
onde
são velocidades antes e
depois da colisão. Aqui todas as velocidades são medidas num único eixo com sinal (positivo/negativo conforme convenção).
- Coeficiente de restituição
: mede quanto da velocidade relativa é mantida após a colisão. Para duas partículas em 1D,
onde
é a velocidade da partícula que vem de trás (a que atinge a outra) antes da colisão e
a da frente; atenção ao sinal: a fórmula acima assume orientação consistente para velocidades. Em palavras simples: a diferença de velocidades após a colisão é
vezes a diferença antes (sinal trocado porque as direções se invertem no contato).
- Combinar (1) e (2) resolve as velocidades após colisão. É prático usar a fórmula geral (válida em 1D) para duas massas quaisquer:
Aqui
é a velocidade do “atingidor” antes da colisão e
a da atingida.
Passo 3
Caso especial muito útil: massas iguais
. Então as fórmulas simplificam bastante porque
. Para massas iguais:
Vou usar essas fórmulas em cada colisão, pois todos os carros têm a mesma massa.
Passo 4
Primeira colisão:
atinge
.
- Antes da colisão:
e . - Coeficiente
.
Aplicando as fórmulas para massas iguais:
Calcule passo a passo:
Para
:
Interpretação: após a colisão
fica com
no sentido que tomamos positivo (o mesmo do movimento inicial de
), e
segue no mesmo sentido, mas mais devagar, com
.
Passo 5
Análise da sequência: depois da primeira colisão temos
-
, -
, -
.
Como
e
está à direita de
(pela figura),
vai colidir com
.
está atrás de
com velocidade menor, então
não alcançará
antes do choque
–
. Portanto a próxima (e última relevante) colisão é entre
e
.
Passo 6
Segunda colisão:
atinge
.
- Antes da colisão:
(o atingidor), . - Coeficiente
.
Aplicando as fórmulas para massas iguais:
Calcule:
Para
:
Passo 7
Agora temos, após todas as colisões:
-
, -
, -
.
Todos no mesmo sentido (o sentido original de
). Verificação de que não haverá mais colisões:
-
está à frente e tem a maior velocidade , portanto seguirá se afastando de . -
tem velocidade maior que , então também se afasta de .
Logo, a configuração final é estável — não ocorrem novas colisões.