13.159 Dois carros idênticos A e B estão em repouso em um pátio portuário de carga com os freios livres. Um carro C, de estilo um pouco diferente, mas de mesma massa, foi empurrado por estivadores e bate no carro B com uma velocidade de 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabendo que o coeficiente de restituição é de 0,8 entre B e C e de 0,5 entre A e B, determine a velocidade de cada carro após a ocorrência de todas as colisões.

Passo 1

O enunciado dá os três carros idênticos A, B e C, todos com a mesma massa. Informações relevantes (peguei a velocidade indicada na imagem):
  • Velocidades iniciais:
    • v_A(0)=0.
    • v_B(0)=0.
    • v_C(0)=1,5\\ \mathrm{m/s} (movendo-se em direção a B; escolhemos como positivo o sentido do movimento de C).
  • Coeficientes de restituição:
    • entre B e C: e_{BC}=0,8.
    • entre A e B: e_{AB}=0,5.
  • As massas são iguais (denotar cada massa por m).
O que o problema pede:
  • Determinar a velocidade final de cada carro A, B e C após todas as colisões.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  1. Conservação do momento linear em colisões isoladas unidimensionais: para duas massas m_1 e m_2 que colidem, o momento total antes é igual ao momento total depois:
m_1 v_{1} + m_2 v_{2} = m_1 v_{1}' + m_2 v_{2}',
onde v_{1},v_{2} são velocidades antes e v_{1}',v_{2}' depois da colisão. Aqui todas as velocidades são medidas num único eixo com sinal (positivo/negativo conforme convenção).
  1. Coeficiente de restituição e: mede quanto da velocidade relativa é mantida após a colisão. Para duas partículas em 1D,
e = \frac{\text{velocidade relativa de separação}}{\text{velocidade relativa de aproximação}} = \frac{v_{2}' - v_{1}'}{v_{1} - v_{2}},çãçã
onde v_1 é a velocidade da partícula que vem de trás (a que atinge a outra) antes da colisão e v_2 a da frente; atenção ao sinal: a fórmula acima assume orientação consistente para velocidades. Em palavras simples: a diferença de velocidades após a colisão é -e vezes a diferença antes (sinal trocado porque as direções se invertem no contato).
  1. Combinar (1) e (2) resolve as velocidades após colisão. É prático usar a fórmula geral (válida em 1D) para duas massas quaisquer:
v_1' = v_1 - \frac{1+e}{m_1+m_2}\,m_2\,(v_1-v_2), \qquad v_2' = v_2 + \frac{1+e}{m_1+m_2}\,m_1\,(v_1-v_2).
Aqui v_1 é a velocidade do “atingidor” antes da colisão e v_2 a da atingida.

Passo 3

Caso especial muito útil: massas iguais m_1=m_2=m. Então as fórmulas simplificam bastante porque m_1/(m_1+m_2)=m_2/(m_1+m_2)=\tfrac{1}{2}. Para massas iguais:
v_1' = v_1 - \frac{1+e}{2}(v_1-v_2), \qquad v_2' = v_2 + \frac{1+e}{2}(v_1-v_2).
Vou usar essas fórmulas em cada colisão, pois todos os carros têm a mesma massa.

Passo 4

Primeira colisão: C atinge B.
  • Antes da colisão: v_1=v_C(0)=1,5\\ \mathrm{m/s} e v_2=v_B(0)=0.
  • Coeficiente e=e_{BC}=0,8.
    Aplicando as fórmulas para massas iguais:
v_C' = v_1' = v_1 - \frac{1+e}{2}(v_1-v_2) = 1,5 - \frac{1+0,8}{2}\cdot(1,5-0).
Calcule passo a passo:
\frac{1+0,8}{2}=\frac{1,8}{2}=0,9,
0,9\cdot 1,5 = 1,35,
v_C' = 1,5 - 1,35 = 0,15\\ \mathrm{m/s}.
Para B:
v_B' = v_2' = v_2 + \frac{1+e}{2}(v_1-v_2) = 0 + 0,9\cdot 1,5 = 1,35\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: após a colisão B fica com 1,35\\ \mathrm{m/s} no sentido que tomamos positivo (o mesmo do movimento inicial de C), e C segue no mesmo sentido, mas mais devagar, com 0,15\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Análise da sequência: depois da primeira colisão temos
  • v_A=0,
  • v_B=1,35\\ \mathrm{m/s},
  • v_C=0,15\\ \mathrm{m/s}.
Como v_B>v_A e B está à direita de A (pela figura), B vai colidir com A. C está atrás de B com velocidade menor, então C não alcançará B antes do choque B A. Portanto a próxima (e última relevante) colisão é entre B e A.

Passo 6

Segunda colisão: B atinge A.
  • Antes da colisão: v_1=v_B=1,35\\ \mathrm{m/s} (o atingidor), v_2=v_A=0.
  • Coeficiente e=e_{AB}=0,5.
    Aplicando as fórmulas para massas iguais:
v_B'' = v_1' = v_1 - \frac{1+e}{2}(v_1-v_2) = 1,35 - \frac{1+0,5}{2}\cdot(1,35-0).
Calcule:
\frac{1+0,5}{2}=\frac{1,5}{2}=0,75,
0,75\cdot 1,35 = 1,0125,
v_B'' = 1,35 - 1,0125 = 0,3375\\ \mathrm{m/s}.
Para A:
v_A' = v_2' = v_2 + \frac{1+e}{2}(v_1-v_2) = 0 + 0,75\cdot 1,35 = 1,0125\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Agora temos, após todas as colisões:
  • v_A = 1,0125\\ \mathrm{m/s},
  • v_B = 0,3375\\ \mathrm{m/s},
  • v_C = 0,15\\ \mathrm{m/s}.
Todos no mesmo sentido (o sentido original de C). Verificação de que não haverá mais colisões:
  • A está à frente e tem a maior velocidade 1,0125, portanto seguirá se afastando de B.
  • B tem velocidade 0,3375 maior que v_C=0,15, então B também se afasta de C.
    Logo, a configuração final é estável — não ocorrem novas colisões.

Resposta

v_A = 1,0125\\ \mathrm{m/s} para a esquerda
v_B = 0,3375\\ \mathrm{m/s} para a esquerda
v_C = 0,15\\ \mathrm{m/s} para a esquerda