Exercício 34. Um microaspersor possui vazão de 40 litros/hora, com um orifício de 0,9 \mathrm{~mm} de diâmetro e o coeficiente de descarga é 0,88 . Determinar a pressão de funcionamento, expressando o resultado em \mathbf{k g f} / \mathbf{c m}^{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede a pressão de funcionamento em \mathrm{kgf/cm^{2}}:
  • Vazão: \;Q=40\\ \mathrm{L/h}.
  • Diâmetro do orifício: \;d=0{,}9\\ \mathrm{mm}.
  • Coeficiente de descarga: \;C_d=0{,}88.
A tarefa é calcular a pressão diferencial \Delta p necessária para obter essa vazão pelo orifício e expressá-la em \mathrm{kgf/cm^{2}}. Vou usar as informações acima sem pedir nada a mais.

Passo 2

Entendendo a fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando um fluido (aqui água, assumida) passa por um orifício rasgando de uma região de pressão maior para outra de menor pressão, a vazão volumétrica por um orifício ideal é dada por Bernoulli + continuidade. Com o coeficiente de descarga C_d que corrige perdas e efeitos de velocidade, usamos a relação
Q = C_d\,A\,\sqrt{\frac{2\,\Delta p}{\rho}},
onde:
  • Q é a vazão volumétrica em \mathrm{m^3/s}.
  • C_d é o coeficiente de descarga (adimensional).
  • A é a área do orifício em \mathrm{m^2}.
  • \Delta p é a diferença de pressão (queda) em \mathrm{Pa}.
  • \rho é a massa específica do fluido em \mathrm{kg/m^3}.
Essa fórmula vem de igualar a energia de pressão à energia cinética do jato: \Delta p \approx \tfrac{1}{2}\rho v^2 e Q= A v, ajustando com C_d porque o jato real tem contrações e perdas.
Isolando \Delta p da fórmula:
\Delta p = \frac{\rho}{2}\left(\frac{Q}{C_d\,A}\right)^{2}.
Vou usar essa expressão passo a passo.

Passo 3

Converter unidades e calcular a área do orifício (passo a passo).
  1. Converter vazão para \mathrm{m^3/s}:
Q = 40\\ \mathrm{L/h} = 40\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/h} = \frac{40\times10^{-3}}{3600}\\ \mathrm{m^3/s} = 1{,}1111111\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/s}.
  1. Converter diâmetro para metros e calcular área:
d = 0{,}9\\ \mathrm{mm} = 0{,}9\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 9\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
O raio é \;r=\dfrac{d}{2}=4{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}. A área do orifício (círculo) é
A = \pi r^{2} = \pi\,(4{,}5\times10^{-4})^{2} = \pi\times(4{,}5^{2}\times10^{-8}) = \pi\times0{,}2025\times10^{-8}.
Calculando numericamente:
A \approx 3{,}14159265\times0{,}2025\times10^{-8} \approx 6{,}361725\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2}.
  1. Adotar densidade da água (valor padrão): \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 4

Calcular o termo \dfrac{Q}{C_d\,A} que aparece na fórmula.
Primeiro o denominador:
C_d\,A = 0{,}88\times6{,}361725\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2} \approx 5{,}597715\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2}.
Agora o quociente:
\frac{Q}{C_d\,A} = \frac{1{,}1111111\times10^{-5}}{5{,}597715\times10^{-7}} \approx 19{,}860\\ \mathrm{m/s}.
Esse valor tem interpretação física: é aproximadamente a velocidade efetiva do jato ajustada pelo coeficiente de descarga (mais alto que Q/A por causa de C_d<1).

Passo 5

Calcular a pressão \Delta p em Pa usando a fórmula isolada.
\Delta p = \frac{\rho}{2}\left(\frac{Q}{C_d\,A}\right)^{2} = \frac{1000}{2}\times(19{,}860)^{2}.
Calculemos:
(19{,}860)^{2}\approx 394{,}41,
portanto
\Delta p \approx 500\times394{,}41 = 197{,}205\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando, \Delta p \approx 1{,}97\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} (aprox. 197{,}2\\ \mathrm{kPa}).

Passo 6

Converter a pressão de \mathrm{Pa} para \mathrm{kgf/cm^{2}}.
Lembrete de conversão: 1\\ \mathrm{kgf} = 9{,}80665\\ \mathrm{N} e 1\\ \mathrm{cm^{2}} = 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}. Assim
1\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} = \frac{9{,}80665\\ \mathrm{N}}{10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}} = 98{,}066{,}5\\ \mathrm{Pa}.
Portanto:
\Delta p\\ (\mathrm{kgf/cm^{2}}) = \frac{197{,}205\\ \mathrm{Pa}}{98{,}066{,}5\\ \mathrm{Pa/(kgf/cm^{2})}} \approx 2{,}01\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.

Resposta

2{,}01\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}

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