Exercício 33. Um aspersor de irrigação possui dois bocais com diâmetros de 4 mm e 6.6 mm . Sendo 3 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} a pressão de trabalho e 0,9 o coeficiente de descarga, calcular a vazão do aspersor, \mathrm{em} \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}.

Passo 1

O enunciado pede a vazão total do aspersor (em \mathrm{m^{3}/h}). Informações dadas:
  • Dois bocais com diâmetros \;d_1=4\\ \mathrm{mm} e \;d_2=6{,}6\\ \mathrm{mm}.
  • Pressão de trabalho \;\Delta p=3\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
  • Coeficiente de descarga \;C_d=0{,}9.
Objetivo: calcular a vazão somada dos dois bocais Q_{\text{total}}=Q_1+Q_2 e apresentar em \mathrm{m^{3}/h}.

Passo 2

Primeiro converto a pressão de \mathrm{kgf/cm^{2}} para pascal ( \mathrm{Pa}), que é a unidade SI compatível com a fórmula dinâmica.
Explicando a conversão:
  • 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}80665\\ \mathrm{N}.
  • 1\\ \mathrm{cm^{2}}=1\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
    Logo
1\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}=\frac{9{,}80665\\ \mathrm{N}}{1\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}}=98\,066{,}5\\ \mathrm{Pa}.
Portanto
\Delta p = 3\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} = 3\times98\,066{,}5\\ \mathrm{Pa}=294\,199{,}5\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Vou usar a fórmula prática para vazão por orifício com coeficiente de descarga:
Q = C_d\,A\,v,\qquad v=\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}}.
Explicando as variáveis:
  • \;Q é a vazão volumétrica (em \mathrm{m^{3}/s}).
  • \;C_d é o coeficiente de descarga (adimensional) que corrige perdas/eficiência do orifício.
  • \;A é a área da seção do bocal ( \mathrm{m^{2}}).
  • \;v é a velocidade teórica de saída obtida pela conversão da pressão em energia cinética.
  • \;\Delta p é a pressão disponível (em \mathrm{Pa}).
  • \;\rho é a densidade do fluido; aqui uso água a temperatura ambiente: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 4

Calculo as áreas dos bocais a partir dos diâmetros (converter mm para m primeiro).
Converter diâmetros:
d_1=4\\ \mathrm{mm}=0{,}004\\ \mathrm{m},\qquad d_2=6{,}6\\ \mathrm{mm}=0{,}0066\\ \mathrm{m}.
Área circular:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Então
A_1=\frac{\pi (0{,}004)^{2}}{4}=\pi(0{,}002)^{2}=4\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}\approx1{,}256637\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}},
A_2=\frac{\pi (0{,}0066)^{2}}{4}=\pi(0{,}0033)^{2}\approx3{,}421188\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Calculo da velocidade teórica v usando \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e \Delta p convertido:
v=\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}}=\sqrt{\frac{2\cdot294\,199{,}5}{1000}}=\sqrt{588{,}399}\\ \mathrm{m/s}\approx24{,}2569\\ \mathrm{m/s}.
Breve explicação: essa fórmula vem de Bernoulli para conversão de pressão (energia por unidade de volume) em velocidade; o fator 2 aparece ao isolar v de p=\tfrac{1}{2}\rho v^{2}.

Passo 6

Calculo das vazões em \mathrm{m^{3}/s} para cada bocal usando Q=C_d A v.
Para o bocal 1:
Q_1 = C_d A_1 v = 0{,}9 \times 1{,}256637\times10^{-5}\times24{,}2569 \approx 2{,}74334\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 7

Para o bocal 2:
Q_2 = C_d A_2 v = 0{,}9 \times 3{,}421188\times10^{-5}\times24{,}2569 \approx 7{,}46883\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 8

Somando as vazões (ambos os bocais trabalham sob mesma pressão, então somam linearmente):
Q_{\text{total}}=Q_1+Q_2\approx 2{,}74334\times10^{-4}+7{,}46883\times10^{-4} =1{,}021217\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Agora converto para \mathrm{m^{3}/h} multiplicando por 3600:
Q_{\text{total (m^{3}/h)}}=1{,}021217\times10^{-3}\times3600\approx3{,}67638\\ \mathrm{m^{3}/h}.

Passo 9

Arredondamento e interpretação: com os dados e aproximações usuais (densidade da água e g adotados), a vazão total do aspersor é aproximadamente \;3{,}68\\ \mathrm{m^{3}/h}. Isso significa que com pressão de 3\\ \mathrm{kgf/cm^{2}} e coeficiente de descarga 0{,}9 os dois bocais juntos entregam cerca de 3{,}7 metros cúbicos por hora.

Resposta

3{,}68\\ \mathrm{m^{3}/h}

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