3.13 Uma sala de conferência com dimensōes 4 m por 10 m por 20 m é preenchida com 100 participantes de conferência. O sistema de ar-condicionado falha, resultando em aumento de temperatura. Existem 50 lâmpadas de 100 watts, e cada pessoa emite aproximadamente 0,117 \mathrm{~kJ} / \mathrm{s}. Assumindo uma pressão constante, em 15 minutos, a temperatura aumentará aproximadamente:
(A) 10^{\circ} \mathrm{C}
(B) 14^{\circ} \mathrm{C}
(C) 18^{\circ} \mathrm{C}
(D) 22^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dimensões da sala: 4\\ \mathrm{m} por 10\\ \mathrm{m} por 20\\ \mathrm{m}.
  • Número de participantes: 100.
  • Emissão térmica por pessoa: 0{,}117\\ \mathrm{kJ/s} (isto é, 0{,}117\\ \mathrm{kW} por pessoa).
  • Lâmpadas: 50 unidades de 100\\ \mathrm{W} cada.
  • Pressão constante (isto é, o aquecimento é a pressão constante).
  • Tempo de aquecimento considerado: 15\\ \mathrm{min}.
  • Pergunta: em 15\\ \mathrm{min}, a temperatura na sala aumentará aproximadamente qual das opções: (A) 10^\circ\mathrm{C}, (B) 14^\circ\mathrm{C}, (C) 18^\circ\mathrm{C}, (D) 22^\circ\mathrm{C}.
Todos os dados relevantes do enunciado foram listados acima. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Qual a ideia física e a fórmula que vamos usar?
Quando a pressão é constante e acrescentamos calor a um volume de ar fechado (a sala), a variação de temperatura \Delta T está ligada à energia térmica adicionada Q pela relação
Q = m\,c_p\,\Delta T,
onde:
  • Q é a energia fornecida (em \mathrm{J}),
  • m é a massa do ar na sala (em \mathrm{kg}),
  • c_p é o calor específico do ar a pressão constante (em \mathrm{J/(kg\,K)}),
  • \Delta T é o aumento de temperatura (em \mathrm{K} ou ^\circ\mathrm{C}).
Essa fórmula vem do fato de que o calor necessário para aumentar a temperatura de uma massa m de uma substância por \Delta T a pressão (ou volume) constante é exatamente m c_p \Delta T. As unidades batem: \mathrm{kg}\times \mathrm{J/(kg\,K)}\times \mathrm{K}=\mathrm{J}.
Para aplicar precisamos de Q (energia total entregue em 15 minutos), de m (massa de ar da sala) e de um valor apropriado para c_p. Valores típicos para ar seco à temperatura ambiente são:
c_p \approx 1005\\ \mathrm{J/(kg\,K)}
e para a densidade do ar podemos usar
\rho \approx 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}.
Vou justificar rapidamente: c_p de \approx1005\\ \mathrm{J/(kg\,K)} é o valor padrão usado em problemas de termodinâmica para ar; \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3} é uma boa aproximação à temperatura ambiente. Pequenas variações nesses números mudam um pouco o resultado final, então no final vou comentar a sensibilidade.

Passo 3

Calcular o volume da sala e a massa de ar.
Volume:
V = 4\times10\times20 = 800\\ \mathrm{m^3}.
Massa de ar:
m = \rho V = 1{,}2\times800 = 960\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular a potência térmica gerada (pessoas + lâmpadas) e a energia em 15\\ \mathrm{min}.
Potência gerada pelas pessoas:
P_{\text{pessoas}} = 100\times0{,}117\\ \mathrm{kJ/s} = 11{,}7\\ \mathrm{kJ/s} = 11{,}7\\ \mathrm{kW}.
Potência das lâmpadas:
P_{\text{lâmpadas}} = 50\times100\\ \mathrm{W} = 5000\\ \mathrm{W} = 5\\ \mathrm{kW}.â
Potência total:
P_{\text{total}} = 11{,}7 + 5 = 16{,}7\\ \mathrm{kW} = 16{,}7\\ \mathrm{kJ/s}.
Tempo t:
t = 15\\ \mathrm{min} = 15\times60 = 900\\ \mathrm{s}.
Energia total fornecida em 15\\ \mathrm{min}:
Q = P_{\text{total}}\times t = 16{,}7\\ \mathrm{kJ/s}\times900\\ \mathrm{s} = 15030\\ \mathrm{kJ}.
Converter para joules:
Q = 15030\\ \mathrm{kJ} = 1{,}503\times10^{7}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Aplicar Q = m c_p \Delta T para achar \Delta T. Rearranjando,
\Delta T = \frac{Q}{m\,c_p}.
Substituindo os números (usando m=960\\ \mathrm{kg} e c_p=1005\\ \mathrm{J/(kg\,K)}):
m\,c_p = 960\times1005 = 964800\\ \mathrm{J/K}.
\Delta T = \frac{1{,}503\times10^{7}}{964800}\approx 15{,}6\\ \mathrm{K}.
Como \mathrm{K} e ^\circ\mathrm{C} têm a mesma escala para variação, isso equivale a \Delta T \approx 15{,}6^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação e escolha da alternativa mais próxima.
O aumento calculado é \approx15{,}6^\circ\mathrm{C}. Entre as opções dadas, a mais próxima é \(14^\circ\mathrm{C}), ou alternativa (B).
Observação sobre sensibilidade: se em vez de \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3} usar \rho\approx1{,}29\\ \mathrm{kg/m^3} (ar mais frio/mais denso) ou usar c_p ligeiramente diferente, o \Delta T varia um pouco e fica mais perto de 14{,}5^\circ\mathrm{C}. Assim a escolha (B) é a resposta correta dentro das aproximações físicas usuais. Força — estamos quase lá!

Resposta

(B) 14^\circ\mathrm{C}

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