3.13 Uma sala de conferência com dimensōes 4 m por 10 m por 20 m é preenchida com 100 participantes de conferência. O sistema de ar-condicionado falha, resultando em aumento de temperatura. Existem 50 lâmpadas de 100 watts, e cada pessoa emite aproximadamente
. Assumindo uma pressão constante, em 15 minutos, a temperatura aumentará aproximadamente:
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dimensões da sala:
por por . - Número de participantes:
. - Emissão térmica por pessoa:
(isto é, por pessoa). - Lâmpadas:
unidades de cada. - Pressão constante (isto é, o aquecimento é a pressão constante).
- Tempo de aquecimento considerado:
. - Pergunta: em
, a temperatura na sala aumentará aproximadamente qual das opções: (A) , (B) , (C) , (D) .
Todos os dados relevantes do enunciado foram listados acima. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Qual a ideia física e a fórmula que vamos usar?
Quando a pressão é constante e acrescentamos calor a um volume de ar fechado (a sala), a variação de temperatura está ligada à energia térmica adicionada
pela relação
Quando a pressão é constante e acrescentamos calor a um volume de ar fechado (a sala), a variação de temperatura
onde:
-
é a energia fornecida (em ), -
é a massa do ar na sala (em ), -
é o calor específico do ar a pressão constante (em ), -
é o aumento de temperatura (em ou ).
Essa fórmula vem do fato de que o calor necessário para aumentar a temperatura de uma massa
de uma substância por
a pressão (ou volume) constante é exatamente
. As unidades batem:
.
Para aplicar precisamos de
(energia total entregue em 15 minutos), de
(massa de ar da sala) e de um valor apropriado para
. Valores típicos para ar seco à temperatura ambiente são:
e para a densidade do ar podemos usar
Vou justificar rapidamente:
de
é o valor padrão usado em problemas de termodinâmica para ar;
é uma boa aproximação à temperatura ambiente. Pequenas variações nesses números mudam um pouco o resultado final, então no final vou comentar a sensibilidade.
Passo 3
Calcular o volume da sala e a massa de ar.
Volume:
Volume:
Massa de ar:
Passo 4
Calcular a potência térmica gerada (pessoas + lâmpadas) e a energia em
.
Potência gerada pelas pessoas:
Potência gerada pelas pessoas:
Potência das lâmpadas:
Potência total:
Tempo
:
Energia total fornecida em
:
Converter para joules:
Passo 5
Aplicar
para achar
. Rearranjando,
Substituindo os números (usando
e
):
Como
e
têm a mesma escala para variação, isso equivale a
.
Passo 6
Interpretação e escolha da alternativa mais próxima.
O aumento calculado é . Entre as opções dadas, a mais próxima é
), ou alternativa (B).
O aumento calculado é
Observação sobre sensibilidade: se em vez de
usar
(ar mais frio/mais denso) ou usar
ligeiramente diferente, o
varia um pouco e fica mais perto de
. Assim a escolha (B) é a resposta correta dentro das aproximações físicas usuais. Força — estamos quase lá!
Resposta
(B)