3.14 O ar em um recipiente rígido de 8 \mathrm{~m}^{3} está a 200 kPa e 60^{\circ} \mathrm{C}. É aquecido a 400^{\circ} \mathrm{C}. A transferência de calor é próxima de:
(A) 4.100 kJ
(B) 2.410 kJ
(C) 1.660 kJ
(D) 260 kJ

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Volume do recipiente: \,V=8\\ \mathrm{m^{3}}\,.
  • Pressão do ar (inicial e constante, porque o recipiente é rígido): \,p=200\\ \mathrm{kPa}\,.
  • Temperatura inicial: \,T_{1}=60^\circ\mathrm{C}=333{,}15\\ \mathrm{K}\,.
  • Temperatura final: \,T_{2}=400^\circ\mathrm{C}=673{,}15\\ \mathrm{K}\,.
  • Condição geométrica: recipiente rígido \Rightarrow processo a volume constante.
    O enunciado pede a transferência de calor aproximada durante esse aquecimento (valor numérico, comparar com as alternativas).

Passo 2

Entender fisicamente e escolher a fórmula correta (explicação didática).
  • Em processos a volume constante não há trabalho de pressão-volume, porque \mathrm{d}V=0. Para trabalho de expansão vale \,W=\int p\,\mathrm{d}V, então \,W=0 neste caso.
  • A 1ª lei da termodinâmica para um sistema fechado escreve-se \,\Delta U = Q - W\,. Como \,W=0, temos \,Q=\Delta U\,.
  • Para um gás ideal, a variação de energia interna depende somente da temperatura e é dada por
\Delta U = m\,c_{v}\,(T_{2}-T_{1}),
onde:
  • \,m\, é a massa do gás,
  • \,c_{v}\, é a capacidade calorífica específica a volume constante (unidades \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}),
  • \,T_{1} e \,T_{2} são as temperaturas absoluta inicial e final (em K).
  • Portanto a transferência de calor é
Q = m\,c_{v}\,(T_{2}-T_{1}).
  • Para determinar \,m\, usamos a equação dos gases ideais no estado inicial:
pV = m R T_{1},
onde \,R é a constante específica do ar. Vou usar valores padrão para ar seco: \,R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e \,c_{v}=0{,}718\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Esses valores são tabelados e normalmente usados em termodinâmica de engenharia para ar; explicando rapidinho: \,c_{p}-c_{v}=R e \,c_{p}\approx1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, o que é consistente com \,c_{v}\approx0{,}718.

Passo 3

Calcular a massa \,m\, a partir de \,pV=mRT_{1}.
m=\dfrac{pV}{R T_{1}}.
Substituindo os valores (atenção às unidades: \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m^{3}}=\mathrm{kJ}, então tudo fica consistente com \mathrm{kJ} / (\mathrm{kJ/(kg\cdot K)})\cdot\mathrm{K}):
m=\dfrac{200\\ \mathrm{kPa}\times 8\\ \mathrm{m^{3}}}{0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\times 333{,}15\\ \mathrm{K}}.
Calcule o denominador:
0{,}287\times 333{,}15 = 95{,}61405.
Então
m=\dfrac{1600}{95{,}61405}\approx 16{,}7379\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular \Delta T e depois Q.
  • Diferença de temperatura:
\Delta T = T_{2}-T_{1}=673{,}15-333{,}15=340{,}00\\ \mathrm{K}.
  • Agora aplicar Q=m\,c_{v}\,\Delta T:
Q = 16{,}7379\\ \mathrm{kg}\times 0{,}718\\ \mathrm{\dfrac{kJ}{kg\cdot K}}\times 340{,}00\\ \mathrm{K}.
Primeiro faça m c_{v}:
16{,}7379\times 0{,}718 \approx 12{,}0178\\ \mathrm{\dfrac{kJ}{K}}.
Multiplicando por \Delta T:
Q \approx 12{,}0178\times 340{,}00 \approx 4\,086{,}05\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Interpretação do resultado e comparação com as alternativas.
  • Obtivemos \,Q\approx 4{,}086\times 10^{3}\\ \mathrm{kJ}, ou aproximadamente \,4{,}09\times10^{3}\\ \mathrm{kJ}.
  • Comparando com as alternativas fornecidas, o valor mais próximo é \,4{,}100\\ \mathrm{kJ} (alternativa (A)).

Resposta

(A) 4.100 kJ

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