4.133 Um tanque isolado de 2 \mathrm{~m}^{3} é enchido com R-134a por meio de uma linha em que o refrigerante está a 3 MPa e 90^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} tanque está inicialmente em vácuo, e a válvula é fechada quando a pressão interna do tanque atinge 3 MPa . Determine a massa que flui para o tanque e sua temperatura final.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Volume do tanque: \;2\\ \mathrm{m}^3.
  • O tanque está inicialmente em vácuo (massa inicial dentro do tanque igual a zero).
  • O fluido que entra é R-134a na linha com pressão e temperatura \;3\\ \mathrm{MPa} e \;90^\circ\mathrm{C}.
  • A válvula é fechada quando a pressão interna do tanque atinge \;3\\ \mathrm{MPa}. Assim, o estado final do fluido no tanque tem pressão conhecida: \;P_f=3\\ \mathrm{MPa}.
  • Objetivos: determinar (a) a massa que entrou no tanque e (b) a temperatura final do fluido no tanque.
Informações relevantes resumidas:
V=2\\ \mathrm{m}^3,\quad P_{\text{in}}=P_f=3\\ \mathrm{MPa},\quad T_{\text{in}}=90^\circ\mathrm{C}=363\\ \mathrm{K},
tanque isolado (processo adiabático), tanque rígido (volume rígido), condições de escoamento desprezam energia cinética e potencial.

Passo 2

Escolha do método e ideia física (sem resolver ainda).
  • Como o tanque é rígido e isolado e começa vazio, toda a energia que entra com o fluido (associada à massa que entra) fica armazenada como energia interna do fluido agora dentro do tanque.
  • No balanço de energia para volume de controle (o interior do tanque) sem trocas de calor e sem trabalho de eixo, a contribuição de energia associada à massa que entra é a entalpia específica h (energia interna mais trabalho de escoamento). Integrando durante o enchimento obtemos a relação
m_{\text{entrado}}\,h_{\text{in}} = m_{\text{final}}\,u_{f},
onde u_f é a energia interna específica do fluido já dentro do tanque no estado final e m_{\text{final}}=m_{\text{entrado}} é a massa final no tanque (já que começou vazio).
  • Portanto, para cada quilograma que entrou vale a igualdade (especifica)
u_{f}=h_{\text{in}}.
Isto significa que a energia interna específica final u_f do fluido no tanque é igual à entalpia específica do fluido que entrou (condições da linha), desde que desprezemos variações cinéticas e potenciais.
Vou usar essa relação para encontrar a temperatura final: temos P_f conhecido; portanto, se conhecermos u_f (igual a h_{\text{in}}) podemos localizar, à pressão P_f, a temperatura correspondente ao valor de u_f. Depois, com P_f e T_f, obtemos a densidade e então a massa m = \rho_f V.

Passo 3

Sobre obter propriedades do R-134a e aproximação adoptada.
  • O procedimento exato exigiria consultar tabelas/propriedades do R-134a para achar h_{\text{in}} na condição de entrada (P=3\\ \mathrm{MPa},\;T=90^\circ\mathrm{C}) e então localizar, à pressão 3\\ \mathrm{MPa}, o estado cuja energia interna específica u seja igual a esse h_{\text{in}}.
  • Como aqui não foi enviada uma tabela de propriedades do R-134a, vou fazer uma aproximação razoável didática: tratar o vapor de R-134a na condição de entrada e no estado final como gás ideal com capacidades caloríficas médias constantes. Isso permite obter uma estimativa consistente (e mostra claramente o método que você deve usar com as tabelas em prova).
  • Vou usar os valores típicos aproximados: R_{\text{sp}}=\frac{8{,}314\\ \mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}}{102{,}03\\ \mathrm{kg/kmol}}=0{,}08145\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\\ (=81{,}45\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}).e para o vapor superaqueçado de R-134a um valor típico de capacidade calorífica a pressão constante c_p\approx0{,}92\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.Logo c_v=c_p-R_{\text{sp}}\approx 0{,}92-0{,}08145=0{,}83855\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Aviso importante (para a prova): se você tiver as tabelas, substitua este passo por buscar exatamente h_{\text{in}}=h(3\\ \mathrm{MPa},90^\circ\mathrm{C}) nas tabelas e depois achar, à pressão 3\\ \mathrm{MPa}, a temperatura cujo u coincide com esse h_{\text{in}}. O restante do raciocínio (energia e balanço de massa) permanece igual.

Passo 4

Usando a aproximação gás ideal: relação entre u_f e h_{\text{in}} e cálculo da temperatura final.
  • Para gás ideal: h=c_p T e u=c_v T (todas as temperaturas em Kelvin).
  • Do balanço obtivemos u_f=h_{\text{in}}. Substituindo:
c_v T_f = c_p T_{\text{in}}.
  • Isolando T_f:
T_f = \frac{c_p}{c_v}\;T_{\text{in}}.
  • Numericamente: T_{\text{in}}=90^\circ\mathrm{C}=363\\ \mathrm{K},
\frac{c_p}{c_v}=\frac{0{,}92}{0{,}83855}\approx 1{,}0973.
T_f \approx 1{,}0973\times 363\\ \mathrm{K}\approx 398{,}33\\ \mathrm{K}.
  • Convertendo para Celsius: T_f \approx 398{,}33\\ \mathrm{K} - 273{,}15 \approx 125{,}18^\circ\mathrm{C}.
Interpretação rápida: o efeito acontece porque a entalpia de escoamento que entra inclui termo p v; ao armazenar essa energia no tanque rígido sem trabalho de fronteira, a temperatura final sobe além da temperatura de entrada.

Passo 5

Cálculo da massa final usando a equação dos gases ideais (aproximação).
  • Usando a equação dos gases ideais no estado final:
m=\frac{P_f V}{R_{\text{sp}} T_f}.
  • Substituindo valores (usar unidades SI: P_f=3{,}0\times10^6\\ \mathrm{Pa},\\ V=2\\ \mathrm{m}^3,\\ R_{\text{sp}}=81{,}45\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\\ T_f=398{,}33\\ \mathrm{K}):
m=\frac{3{,}0\times10^6\cdot 2}{81{,}45\cdot 398{,}33}\\ \mathrm{kg}.
  • Calculando: \text{denominador}=81{,}45\times 398{,}33\approx 32\,445{,} \quad m\approx\frac{6{,}0\times10^6}{32\,445}\approx 184{,}94\\ \mathrm{kg}.
  • Arredondando de forma razoável: m\approx 185{,}0\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Revisão e observações finais (didáticas e de prova).
  • Resultado obtido com a aproximação de gás ideal e cp médio. O procedimento (cadeia lógica) que deve ser usado com tabelas reais é:
    1. Ler h_{\text{in}}=h(3\\ \mathrm{MPa},90^\circ\mathrm{C}) na tabela de superaquecido do R-134a.
    2. Impor u_f=h_{\text{in}} e, na tabela à pressão \;3\\ \mathrm{MPa}, encontrar a temperatura (ou o estado) cuja u seja igual a h_{\text{in}}. Essa será T_f.
    3. Com P_f e T_f na tabela, encontrar \rho_f e obter m=\rho_f V.
  • Em geral, os valores tabelados entregarão um número um pouco diferente do estimado aqui; a diferença depende do quão boa é a aproximação de gás ideal e do valor real de c_p usado. Mas o método físico (balanço de energia m h_in = m u_f) é o que importa para a prova.
  • Fica o incentivo: faça esse raciocínio com as tabelas da sua apostila/handbook que seu professor espera; a parte conceitual é exatamente o que foi mostrado.

Resposta

m \approx 185{,}0\\ \mathrm{kg}
T_f \approx 125{,}2^\circ\mathrm{C}

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