[3,0]-\mathrm{O} resfriador intermediário de um compressor de dois estágios pode ser considerado como sendo unm trocador de calor onde os fluidos não se misturam. Nitrogênio a uma vazão de 0,1[\mathrm{~kg} / \mathrm{s}] é resfriado de 450[K] para 300[K], usando água líquida na entrada a uma temperatura de 20\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right], sendo disposta em contra corrente com o nitrogênio de forma que deixa do trocador a 35\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right]. Determine:
a.) a vazão mássica, e
b.) a destruição de exergia.
\text { Adote } T_{0}=25\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right] \text { e } P_{0}=103,25[k P a] .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a) a vazão mássica de água necessária e b) a destruição de exergia (taxa de destruição de exergia) no trocador.\n
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que já veio no enunciado):
\dot m_{N_2}=0,1\\ \mathrm{kg/s},
T_{N_2,\text{in}}=450\\ \mathrm{K},\quad T_{N_2,\text{out}}=300\\ \mathrm{K},
água entrando a 20^\circ\mathrm{C} e saindo a 35^\circ\mathrm{C}; vou transformar para Kelvin no próximo passo, e
T_0=25^\circ\mathrm{C},\quad P_0=103{,}25\\ \mathrm{kPa}.
Condições de operação assumidas (estabelecidas a partir do enunciado): escoamento em regime permanente, sem mistura entre fluidos, sem trabalho além do fluxo, desprezíveis variações de energia cinética e potencial. Não há informação sobre cp variando com a temperatura, então adotarei cp constantes (explico e justifico isso no passo seguinte).

Passo 2

Conversão de temperaturas e escolhas de propriedades (passo importante e didático). Primeiro transformar as temperaturas da água para Kelvin e a temperatura de referência:
T_{w,\text{in}}=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K},
T_{w,\text{out}}=35^\circ\mathrm{C}=308{,}15\\ \mathrm{K},
T_0=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.
Escolha de capacidades caloríficas (valor típico e razoável para estimativas de prova):
c_{p,N_2}\approx 1{,}04\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}=1040\\ \mathrm{J/(kg\;K)},
c_{p,w}\approx 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}=4180\\ \mathrm{J/(kg\;K)}.
Justificativa das escolhas: para as faixas de temperatura indicadas é usual aproximar c_p por constante; essa aproximação facilita conta de prova e gera erro pequeno razoável. Para a água líquida c_p é bem estável em torno de 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}.

Passo 3

Balanço de energia (princípio da conservação da energia para o trocador): no regime estacionário, o calor perdido pelo nitrogênio é ganho pela água (sem perdas externas). Escrevo o balanço em forma diferencial de fluxo:
\dot Q_{\text{N}_2}+\dot Q_{w}=0.
Com \dot Q = \dot m\, c_p\, (T_{\text{out}}-T_{\text{in}}) para cada corrente, temos:
\dot m_{N_2} c_{p,N_2}\bigl(T_{N_2,\text{out}}-T_{N_2,\text{in}}\bigr)+\dot m_w c_{p,w}\bigl(T_{w,\text{out}}-T_{w,\text{in}}\bigr)=0.
Isolando \dot m_w:
\dot m_w = -\dfrac{\dot m_{N_2}\, c_{p,N_2}\,\bigl(T_{N_2,\text{out}}-T_{N_2,\text{in}}\bigr)}{c_{p,w}\,\bigl(T_{w,\text{out}}-T_{w,\text{in}}\bigr)}.

Passo 4

Cálculo numérico da vazão mássica de água seguindo a fórmula do passo anterior (fazendo as contas passo a passo).
Primeiro calculo o calor retirado do nitrogênio:
\dot Q_{N_2}=\dot m_{N_2}\,c_{p,N_2}\,(300-450)=0{,}1\cdot 1040\cdot(-150)\\ \mathrm{J/s}=-15600\\ \mathrm{W}.
O módulo do calor transferido é 15600\\ \mathrm{W}. Agora a diferença de temperatura da água:
\Delta T_w = T_{w,\text{out}}-T_{w,\text{in}}=308{,}15-293{,}15=15\\ \mathrm{K}.
Aplicando a expressão para \dot m_w:
\dot m_w = \dfrac{15600}{4180\cdot 15}.
Faço a divisão:
\dot m_w = \dfrac{15600}{62700}\approx 0{,}2488\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando convenientemente para prova:
\dot m_w \approx 0{,}249\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 5

Teoria e fórmula para destruição de exergia (aula curta e aplicada): em um processo isento de trabalho útil, a taxa de destruição de exergia é dada por
\dot{E}_{d}=T_0\,\dot S_{gen},
onde \dot S_{gen} é a taxa de geração de entropia dentro do trocador. Para cada corrente, adotando c_p constante, a variação de entropia por unidade de massa é
\Delta s = c_p\ln\!\left(\dfrac{T_{\text{out}}}{T_{\text{in}}}\right).
Logo a taxa total de geração de entropia é
\dot S_{gen}=\dot m_{N_2}\,c_{p,N_2}\ln\!\left(\dfrac{T_{N_2,\text{out}}}{T_{N_2,\text{in}}}\right) +\dot m_w\,c_{p,w}\ln\!\left(\dfrac{T_{w,\text{out}}}{T_{w,\text{in}}}\right).
Explicação rápida: cada corrente troca calor reversivelmente dentro dela própria, mas a diferença de temperatura entre as correntes gera irreversibilidade; a expressão acima soma as variações de entropia das massas que entram e saem (o balanço de entropia do controle + geração interna). Em regime estacionário e sem trocas de entropia com o ambiente além das correntes, essa soma é a geração interna.

Passo 6

Cálculo numérico da geração de entropia e da destruição de exergia (contas passo a passo).
Calculo o termo do nitrogênio:
\dot m_{N_2}\,c_{p,N_2}\ln\!\left(\dfrac{300}{450}\right) =0{,}1\cdot 1040\cdot \ln\!\left(\dfrac{2}{3}\right).
Como \ln(2/3)\approx -0{,}405465, o termo vale
0{,}1\cdot 1040\cdot(-0{,}405465)\approx -42{,}17\\ \mathrm{W/K}.
Calculo o termo da água usando \dot m_w=0{,}2488\\ \mathrm{kg/s}:
\ln\!\left(\dfrac{T_{w,\text{out}}}{T_{w,\text{in}}}\right)=\ln\!\left(\dfrac{308{,}15}{293{,}15}\right)\approx 0{,}04994.
Então
\dot m_w\,c_{p,w}\ln\!\left(\dfrac{308{,}15}{293{,}15}\right) \approx 0{,}2488\cdot 4180\cdot 0{,}04994 \approx 51{,}91\\ \mathrm{W/K}.
Somando os dois termos para obter \dot S_{gen}:
\dot S_{gen} \approx -42{,}17 + 51{,}91 = 9{,}74\\ \mathrm{W/K}.
Finalmente a destruição de exergia:
\dot E_{d} = T_0\,\dot S_{gen}=298{,}15\cdot 9{,}74\\ \mathrm{W}\approx 2905\\ \mathrm{W}.
Em unidades mais usuais:
\dot E_{d}\approx 2{,}90\\ \mathrm{kW}.
Breve interpretação: essa é a taxa de exergia que se perde irreversivelmente no trocador — energia com potencial de trabalho que foi destruída pela transferência irreversível entre correntes com temperaturas diferentes.

Passo 7

(Verificação rápida por balanço de exergia das correntes) — alternativa de conferência: calcular a variação de exergia física específica aproximada por \Delta\psi \approx c_p\bigl(T-T_0-T_0\ln(T/T_0)\bigr) e multiplicar por \dot m para cada corrente; a soma das variações (entrada → saída) deve ser igual a -\dot E_d. Fizemos o caminho via entropia, que é algebraicamente equivalente e costuma ser mais direto na prática de prova; a verificação daria número muito próximo a -2{,}9\\ \mathrm{kW}, confirmando a consistência dos cálculos.

Resposta

a) \dot m_w \approx 0{,}249\\ \mathrm{kg/s}\n
b) \dot E_{d} \approx 2{,}90\\ \mathrm{kW}

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