5.136 Um balão esférico contém, inicialmente,
de ar a 200 kPa e
. O balão está conectado a uma tubulacão, com válvula, que transporta ar a 400 kPa e
. A válvula é, então, aberta e só é fechada quando o volume atinge o dobro do volume inicial do balão. Sabendo que durante o processo são transferidos 50 kJ de calor do balão, determine a temperatura final do ar no balão e o aumento da massa de ar contida no balão.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a temperatura final do ar no balão e o aumento da massa de ar contida no balão, quando o processo termina. Dados fornecidos (vou listar tudo de forma clara):
O balão é deixado abrir até o seu volume dobrar:
Durante o processo, são transferidos
O que precisamos encontrar:
- Temperatura final do ar no balão
. - Aumento da massa contida no balão
.
Informações físicas que vamos usar (valores padrão para ar ideal, com unidades compatíveis kJ/kg·K):
Passo 2
Calcular o volume inicial
usando a equação dos gases ideais
.
Substituindo os valores (lembre que
, então as unidades ficam consistentes):
Portanto
(Guardei esses números para usar adiante.)
Passo 3
Fazer as hipóteses e escrever a conservação de energia apropriada (explicando cada termo).
Hipóteses razoáveis e usadas:
- O ar se comporta como um gás ideal com
e constantes. - As energias cinética e potencial são desprezíveis.
- Não há saída de massa, só entrada (o ar entra da tubulação até dobrar o volume).
- Durante o enchimento, a pressão final no balão fica igual à pressão da tubulação (a tubulação está a
e é a fonte que dita a pressão quando a válvula está aberta). Assim, tomamos . (Isso é razoável porque a tubulação é uma fonte de maior pressão e o balão expande até equilibrar essa pressão.) - O trabalho realizado pelo balão sobre o entorno devido à expansão é o trabalho de borda
. Como durante o enchimento o interior fica essencialmente na pressão da tubulação, podemos usar constante para calcular esse trabalho.
Energia interna específica do ar:
.
Entalpia específica do ar que entra: .
Entalpia específica do ar que entra:
Equilíbrio de energia para o conteúdo do balão (sistema aberto com entrada de massa, sem saída de massa):
onde
,
,
,
.
Passo 4
Substituir expressões e organizar a equação para obter uma relação entre
e
.
Começando:
Usando
e
, temos
Substituindo na equação de energia:
Agrupando os termos que multiplicam
à esquerda:
Como
, o termo da esquerda simplifica:
Esta é uma equação que envolve
e
. Mas também temos a relação de estado do gás para a condição final:
Substituindo esta expressão de
na equação anterior obtém-se uma equação somente em
.
Passo 5
Substituir numericamente as constantes e reduzir a equação para resolver
.
Primeiro calcule os termos constantes à direita:
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Agora o termo entre parênteses:
Multiplicando por
:
Lembre que
. Então o lado direito da equação numérica é
Passo 6
Agora escrever a equação numérica completa para
. Primeiro calcule
:
A massa final
em função de
é
onde
está em kelvin.
A equação energética reduzida era
Substituindo
:
Multiplicando
(aprox.), obtemos:
Isolando o termo com
:
Portanto
Logo
Em graus Celsius:
Passo 7
Calcular a massa final
e o aumento de massa
.
Usando
:
Aumento de massa:
Arredondando de forma razoável (duas ou três casas significativas), podemos apresentar
como
(
) e
.
Passo 8
Breve verificação e interpretação (motivo de o resultado fazer sentido):
-
está entre e (303{,}15 K e 373{,}15 K), o que é coerente: entra ar quente (373 K) e sai calor do balão (50 kJ), então a temperatura final fica entre as duas. - A massa aumentou bastante porque a pressão final é o dobro da inicial e o volume também dobrou — isso permite mais massa no balão a
.