5.136 Um balão esférico contém, inicialmente, 0,5 \mathrm{~kg} de ar a 200 kPa e 30^{\circ} \mathrm{C}. O balão está conectado a uma tubulacão, com válvula, que transporta ar a 400 kPa e 100^{\circ} \mathrm{C}. A válvula é, então, aberta e só é fechada quando o volume atinge o dobro do volume inicial do balão. Sabendo que durante o processo são transferidos 50 kJ de calor do balão, determine a temperatura final do ar no balão e o aumento da massa de ar contida no balão.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a temperatura final do ar no balão e o aumento da massa de ar contida no balão, quando o processo termina. Dados fornecidos (vou listar tudo de forma clara):
\,m_1 = 0,5\\ \mathrm{kg} (massa inicial no balão)
\,P_1 = 200\\ \mathrm{kPa} (pressão inicial no balão)
\,T_1 = 30^\circ\mathrm{C} = 303{,}15\\ \mathrm{K} (temperatura inicial)
\,P_s = 400\\ \mathrm{kPa} (pressão do ar na tubulação — chamada fonte)
\,T_s = 100^\circ\mathrm{C} = 373{,}15\\ \mathrm{K} (temperatura do ar na tubulação)
O balão é deixado abrir até o seu volume dobrar: \,V_2 = 2V_1.
Durante o processo, são transferidos 50\\ \mathrm{kJ} de calor “do balão” (isto é, calor sai do balão para o ambiente): Q = -50\\ \mathrm{kJ}.
O que precisamos encontrar:
  • Temperatura final do ar no balão \,T_2.
  • Aumento da massa contida no balão \,\Delta m = m_2 - m_1.
Informações físicas que vamos usar (valores padrão para ar ideal, com unidades compatíveis kJ/kg·K):
\,R = 0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
\,c_v = 0{,}718\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
\,c_p = 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

Passo 2

Calcular o volume inicial V_1 usando a equação dos gases ideais \,P V = m R T.
V_1 = \frac{m_1 R T_1}{P_1}.
Substituindo os valores (lembre que 1\\ \mathrm{kPa\cdot m^3}=1\\ \mathrm{kJ}, então as unidades ficam consistentes):
V_1 = \frac{0{,}5\cdot 0{,}287\cdot 303{,}15}{200} = 0{,}21759\\ \mathrm{m^3}.
Portanto
V_2 = 2V_1 = 0{,}43518\\ \mathrm{m^3}.
(Guardei esses números para usar adiante.)

Passo 3

Fazer as hipóteses e escrever a conservação de energia apropriada (explicando cada termo).
Hipóteses razoáveis e usadas:
  • O ar se comporta como um gás ideal com c_p e c_v constantes.
  • As energias cinética e potencial são desprezíveis.
  • Não há saída de massa, só entrada (o ar entra da tubulação até dobrar o volume).
  • Durante o enchimento, a pressão final no balão fica igual à pressão da tubulação (a tubulação está a 400\\ \mathrm{kPa} e é a fonte que dita a pressão quando a válvula está aberta). Assim, tomamos P_2 = P_s = 400\\ \mathrm{kPa}. (Isso é razoável porque a tubulação é uma fonte de maior pressão e o balão expande até equilibrar essa pressão.)
  • O trabalho realizado pelo balão sobre o entorno devido à expansão é o trabalho de borda \,\int P_{\text{interno}} dV. Como durante o enchimento o interior fica essencialmente na pressão da tubulação, podemos usar P_{\text{interno}}=P_2 constante para calcular esse trabalho.
Energia interna específica do ar: u = c_v T.
Entalpia específica do ar que entra: h_{\text{in}} = c_p T_s.
Equilíbrio de energia para o conteúdo do balão (sistema aberto com entrada de massa, sem saída de massa):
\Delta U = Q + m_{\text{in}} h_{\text{in}} - W_{\text{borda}},
onde
\Delta U = m_2 u_2 - m_1 u_1 = c_v (m_2 T_2 - m_1 T_1),
m_{\text{in}} = m_2 - m_1,
h_{\text{in}} = c_p T_s,
W_{\text{borda}} = \int_{V_1}^{V_2} P_{\text{int}} dV \approx P_2 (V_2 - V_1).

Passo 4

Substituir expressões e organizar a equação para obter uma relação entre m_2 e T_2.
Começando:
c_v (m_2 T_2 - m_1 T_1) = Q + (m_2 - m_1) c_p T_s - P_2 (V_2 - V_1).
Usando P_2 V_2 = m_2 R T_2 e P_2 V_1 = P_2 \dfrac{m_1 R T_1}{P_1}, temos
P_2 (V_2 - V_1) = m_2 R T_2 - m_1 R T_1 \frac{P_2}{P_1}.
Substituindo na equação de energia:
c_v m_2 T_2 - c_v m_1 T_1 = Q + m_2 c_p T_s - m_1 c_p T_s - m_2 R T_2 + m_1 R T_1 \frac{P_2}{P_1}.
Agrupando os termos que multiplicam m_2 à esquerda:
m_2 (c_v T_2 + R T_2 - c_p T_s) = c_v m_1 T_1 - m_1 c_p T_s + m_1 R T_1 \frac{P_2}{P_1} + Q.
Como c_v + R = c_p, o termo da esquerda simplifica:
m_2 c_p (T_2 - T_s) = m_1\big(c_v T_1 + R T_1 \frac{P_2}{P_1} - c_p T_s\big) + Q.
Esta é uma equação que envolve m_2 e T_2. Mas também temos a relação de estado do gás para a condição final:
m_2 = \frac{P_2 V_2}{R T_2}.
Substituindo esta expressão de m_2 na equação anterior obtém-se uma equação somente em T_2.

Passo 5

Substituir numericamente as constantes e reduzir a equação para resolver T_2.
Primeiro calcule os termos constantes à direita:
Calcule c_v T_1:
c_v T_1 = 0{,}718 \cdot 303{,}15 = 217{,}6617\\ \mathrm{kJ/kg}.
Calcule R T_1 \dfrac{P_2}{P_1}:
R T_1 \frac{P_2}{P_1} = 0{,}287 \cdot 303{,}15 \cdot \frac{400}{200} = 0{,}574 \cdot 303{,}15 = 174{,}0081\\ \mathrm{kJ/kg}.
Calcule c_p T_s:
c_p T_s = 1{,}005 \cdot 373{,}15 = 375{,}01575\\ \mathrm{kJ/kg}.
Agora o termo entre parênteses:
c_v T_1 + R T_1 \frac{P_2}{P_1} - c_p T_s = 217{,}6617 + 174{,}0081 - 375{,}01575 = 16{,}65405\\ \mathrm{kJ/kg}.
Multiplicando por m_1 = 0{,}5\\ \mathrm{kg}:
m_1\big(\cdots\big) = 0{,}5\cdot 16{,}65405 = 8{,}327025\\ \mathrm{kJ}.
Lembre que Q = -50\\ \mathrm{kJ}. Então o lado direito da equação numérica é
\text{RHS} = 8{,}327025 + (-50) = -41{,}672975\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Agora escrever a equação numérica completa para T_2. Primeiro calcule P_2 V_2:
P_2 V_2 = 400\\ \mathrm{kPa}\cdot 0{,}43518\\ \mathrm{m^3} = 174{,}072\\ \mathrm{kJ}.
A massa final m_2 em função de T_2 é
m_2 = \frac{P_2 V_2}{R T_2} = \frac{174{,}072}{0{,}287\;T_2} = \frac{606{,}081}{T_2}\\ \mathrm{kg},
onde T_2 está em kelvin.
A equação energética reduzida era
m_2 c_p (T_2 - T_s) = \text{RHS} = -41{,}672975.
Substituindo m_2:
\frac{606{,}081}{T_2}\cdot 1{,}005 \cdot (T_2 - 373{,}15) = -41{,}672975.
Multiplicando 606{,}081\cdot 1{,}005 = 609{,}111 (aprox.), obtemos:
609{,}111\left(1 - \frac{373{,}15}{T_2}\right) = -41{,}672975.
Isolando o termo com T_2:
1 - \frac{373{,}15}{T_2} = -\frac{41{,}672975}{609{,}111} = -0{,}068448\\ (\text{aprox.}).
Portanto
\frac{373{,}15}{T_2} = 1 + 0{,}068448 = 1{,}068448.
Logo
T_2 = \frac{373{,}15}{1{,}068448} \approx 349{,}17\\ \mathrm{K}.
Em graus Celsius:
T_2 = 349{,}17 - 273{,}15 = 76{,}02^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Calcular a massa final m_2 e o aumento de massa \Delta m.
Usando m_2 = \dfrac{606{,}081}{T_2}:
m_2 = \frac{606{,}081}{349{,}17} \approx 1{,}7369\\ \mathrm{kg}.
Aumento de massa:
\Delta m = m_2 - m_1 = 1{,}7369 - 0{,}5 = 1{,}2369\\ \mathrm{kg}.
Arredondando de forma razoável (duas ou três casas significativas), podemos apresentar T_2 como 349{,}2\\ \mathrm{K} ( 76{,}0^\circ\mathrm{C}) e \Delta m \approx 1{,}237\\ \mathrm{kg}.

Passo 8

Breve verificação e interpretação (motivo de o resultado fazer sentido):
  • T_2 está entre T_1 e T_s (303{,}15 K e 373{,}15 K), o que é coerente: entra ar quente (373 K) e sai calor do balão (50 kJ), então a temperatura final fica entre as duas.
  • A massa aumentou bastante porque a pressão final é o dobro da inicial e o volume também dobrou — isso permite mais massa no balão a 400\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

T_2 = 349{,}2\\ \mathrm{K} = 76{,}0^\circ\mathrm{C}
\Delta m = 1{,}237\\ \mathrm{kg}

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