Ar úmido saturado a 150 kPa e
(temperatura de bulbo seco) escoa por um tubo de 4 cm de diâmetro a uma velocidade de
antes de ser aquecido por um resistor elétrico posicionado no interior do tubo em uma seção posterior. Depois de passar pelo resistor, a umidade relativa do ar é
. Calcule a temperatura de bulbo seco do ar na saída e a taxa de calor dissipada no resistor (em kW). [3,0p]
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
- Dados fornecidos:
- Pressão total do ar:
. - Condição de entrada: ar úmido saturado (ou seja, umidade relativa
) com temperatura de bulbo seco (temperatura seca) . - Diâmetro do tubo:
. - Velocidade do escoamento na entrada:
. - Depois do resistor elétrico, a umidade relativa é
.
- Pressão total do ar:
- O que é pedido:
- Temperatura de bulbo seco do ar na saída,
(em °C). - Taxa de calor dissipada no resistor,
(em kW).
- Temperatura de bulbo seco do ar na saída,
- Observações importantes de interpretação (não pergunto nada, assumo o caso mais razoável):
- O resistor aquece o ar sem adicionar nem remover vapor d’água; portanto a razão de mistura (umidade específica)
permanece constante entre entrada e saída. - Como o ar entra saturado, a pressão parcial do vapor na entrada é a pressão de saturação à temperatura
: . - Para encontrar
usamos que a umidade relativa final é , com (vapor não mudou de massa). - Para calcular a potência do resistor, há que calcular a vazão mássica de ar seco e a variação de entalpia do ar úmido (apenas aquecimento sensível, sem troca de massa de vapor).
- O resistor aquece o ar sem adicionar nem remover vapor d’água; portanto a razão de mistura (umidade específica)
Passo 2
Primeiro passo prático: obter a pressão de saturação do vapor d’água à temperatura de entrada. Vou pegar valores típicos de tabela de vapor saturado (tabela de pressão de vapor líquido/temperatura):
- Peguei da tabela:
Como o ar está saturado na entrada, a pressão parcial do vapor é
A pressão parcial do ar seco na entrada é
(para consistência converti
em
quando usei o valor em SI).
Agora calculo a razão de mistura (umidade específica) na entrada, que para ar úmido ideal é
Aplicando para a entrada:
Usando
na fração é mais direto:
Explicação didática rápida: a constante
vem da razão das massas molares do vapor d’água e do ar seco;
é massa de vapor por massa de ar seco.
Passo 3
Determinar a temperatura de saída
usando a condição de umidade relativa final.
Sabemos que o vapor não foi removido nem adicionado, então a pressão parcial do vapor na saída é igual a
A definição de umidade relativa é
Isolando
:
Agora precisamos encontrar a temperatura cuja pressão de saturação é
. Vou usar valores da tabela de vapor saturado para interpolar:
- Peguei da tabela:
. - Peguei da tabela:
.
Como
kPa está entre os valores de
e
, faço interpolação linear em pressão vs. temperatura (boa aproximação para 1 °C de intervalo):
A diferença em pressão entre 35 °C e 36 °C é
. A diferença entre o valor que queremos e
é
. Assim a fração é
. Logo
Interpretação: aquecendo o ar saturado de
até cerca de
, a pressão de saturação sobe e a umidade relativa cai para 30 % sem que vapor seja removido.
Passo 4
Calcular a vazão volumétrica e a vazão mássica de ar seco (necessárias para
).
Área da seção do tubo:
Vazão volumétrica:
Agora obtenho a vazão mássica de ar seco usando a lei dos gases ideais para o componente ar seco (usa-se a pressão parcial do ar seco e a temperatura local de referência; é mais simples calcular a partir da entrada onde
e
são conhecidos):
onde
-
(conforme calculado), -
é a constante do ar seco, -
.
Substituindo:
Explicação didática: usei a pressão parcial do ar seco porque a equação dos gases ideais funciona componente a componente — o volume contém tanto ar seco quanto vapor, mas a pressão parcial do ar seco determina a massa de ar seco naquele volume.
A vazão mássica do vapor é simplesmente
Passo 5
Montar a expressão para a potência necessária para aquecer o ar úmido.
Como não há troca de massa de vapor (nem condensação/evaporação), o aquecimento é sensível do ar úmido composto de ar seco + vapor. A potência é
Isso pode ser escrito em forma prática como
onde
-
é o calor específico do ar seco (aprox. ), -
é o calor específico do vapor d’água (aprox. ), -
é a razão de mistura já calculada.
Essas constantes são valores padrão razoáveis para problemas de termodinâmica de ar úmido.
Passo 6
Calcular numericamente a potência:
Parâmetros:
Calor específico do ar úmido por kg de ar seco:
Variação de temperatura:
Agora:
Convertendo para kW:
Explicação didática: a potência é o produto da massa que passa por segundo, do calor que cada quilo precisa para aquecer
, e da diferença de temperatura; incluí o termo em
porque existe vapor no fluxo e ele armazena calor também.
Passo 7
Resumo e verificação rápida dos números (sanity check):
- A temperatura subiu de
para cerca de — aumento de . Faz sentido que a umidade relativa caia de para com esse aquecimento, porque a pressão de saturação aumenta muito com a temperatura. - Vazão mássica de ar seco
é razoável para um tubo pequeno com 20 m/s. - Potência de aproximadamente
para aquecer esse fluxo é um valor plausível e não absurdo.