Ar úmido saturado a 150 kPa e 15^{\circ} \mathrm{C} (temperatura de bulbo seco) escoa por um tubo de 4 cm de diâmetro a uma velocidade de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} antes de ser aquecido por um resistor elétrico posicionado no interior do tubo em uma seção posterior. Depois de passar pelo resistor, a umidade relativa do ar é 30 \%. Calcule a temperatura de bulbo seco do ar na saída e a taxa de calor dissipada no resistor (em kW). [3,0p]

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Dados fornecidos:
    • Pressão total do ar: \,p=150\\ \text{kPa}.
    • Condição de entrada: ar úmido saturado (ou seja, umidade relativa \,100\%) com temperatura de bulbo seco (temperatura seca) \,T_1=15^\circ\text{C}.
    • Diâmetro do tubo: \,D=4\\ \text{cm}=0{,}04\\ \text{m}.
    • Velocidade do escoamento na entrada: \,v=20\\ \text{m/s}.
    • Depois do resistor elétrico, a umidade relativa é \,\phi_2=30\%.
  • O que é pedido:
    1. Temperatura de bulbo seco do ar na saída, \,T_2 (em °C).
    2. Taxa de calor dissipada no resistor, \,\dot{Q} (em kW).
  • Observações importantes de interpretação (não pergunto nada, assumo o caso mais razoável):
    • O resistor aquece o ar sem adicionar nem remover vapor d’água; portanto a razão de mistura (umidade específica) \,w permanece constante entre entrada e saída.
    • Como o ar entra saturado, a pressão parcial do vapor na entrada é a pressão de saturação à temperatura \,T_1: \,p_{v1}=p_{ws}(15^\circ\text{C}).
    • Para encontrar \,T_2 usamos que a umidade relativa final é \,\phi_2 = p_{v}/p_{ws}(T_2), com \,p_{v}=p_{v1} (vapor não mudou de massa).
    • Para calcular a potência do resistor, há que calcular a vazão mássica de ar seco e a variação de entalpia do ar úmido (apenas aquecimento sensível, sem troca de massa de vapor).

Passo 2

Primeiro passo prático: obter a pressão de saturação do vapor d’água à temperatura de entrada. Vou pegar valores típicos de tabela de vapor saturado (tabela de pressão de vapor líquido/temperatura):
  • Peguei da tabela: \,p_{ws}(15^\circ\text{C})=1{,}705\\ \text{kPa}.
Como o ar está saturado na entrada, a pressão parcial do vapor é
p_{v1}=p_{ws}(15^\circ\text{C})=1{,}705\\ \text{kPa}.
A pressão parcial do ar seco na entrada é
p_{a1}=p - p_{v1}=150{,}000\\ \text{Pa} - 1{,}705\\ \text{Pa}=148{,}295\\ \text{Pa}.
(para consistência converti \text{kPa} em \text{Pa} quando usei o valor em SI).
Agora calculo a razão de mistura (umidade específica) na entrada, que para ar úmido ideal é
w = 0{,}622\,\frac{p_v}{p - p_v}.
Aplicando para a entrada:
w = 0{,}622\cdot\frac{1{,}705}{150 - 1{,}705/1000}
Usando \,\text{kPa} na fração é mais direto:
w = 0{,}622\cdot\frac{1{,}705}{150 - 1{,}705} =0{,}622\cdot\frac{1{,}705}{148{,}295} \approx 0{,}007149\\ \text{kg vapor/kg ar seco}.
Explicação didática rápida: a constante \,0{,}622 vem da razão das massas molares do vapor d’água e do ar seco; \,w é massa de vapor por massa de ar seco.

Passo 3

Determinar a temperatura de saída \,T_2 usando a condição de umidade relativa final.
Sabemos que o vapor não foi removido nem adicionado, então a pressão parcial do vapor na saída é igual a \,p_{v2}=p_{v1}=1{,}705\\ \text{kPa}.
A definição de umidade relativa é
\phi_2=\frac{p_{v2}}{p_{ws}(T_2)}.
Isolando p_{ws}(T_2):
p_{ws}(T_2)=\frac{p_{v2}}{\phi_2}=\frac{1{,}705}{0{,}30}=5{,}683\\ \text{kPa}.
Agora precisamos encontrar a temperatura cuja pressão de saturação é \,5{,}683\\ \text{kPa}. Vou usar valores da tabela de vapor saturado para interpolar:
  • Peguei da tabela: \,p_{ws}(35^\circ\text{C})=5{,}628\\ \text{kPa}.
  • Peguei da tabela: \,p_{ws}(36^\circ\text{C})=6{,}191\\ \text{kPa}.
Como 5{,}683 kPa está entre os valores de 35^\circ\text{C} e 36^\circ\text{C}, faço interpolação linear em pressão vs. temperatura (boa aproximação para 1 °C de intervalo):
A diferença em pressão entre 35 °C e 36 °C é 6{,}191-5{,}628=0{,}563\\ \text{kPa}. A diferença entre o valor que queremos e p_{ws}(35^\circ\text{C}) é 5{,}683-5{,}628=0{,}055\\ \text{kPa}. Assim a fração é 0{,}055/0{,}563\approx0{,}0977. Logo
T_2 \approx 35^\circ\text{C} + 0{,}0977^\circ\text{C}\approx 35{,}10^\circ\text{C}.
Interpretação: aquecendo o ar saturado de 15^\circ\text{C} até cerca de 35{,}1^\circ\text{C}, a pressão de saturação sobe e a umidade relativa cai para 30 % sem que vapor seja removido.

Passo 4

Calcular a vazão volumétrica e a vazão mássica de ar seco (necessárias para \dot{Q}).
Área da seção do tubo:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\pi\left(0{,}04/2\right)^2=\pi(0{,}02)^2=\pi\cdot0{,}0004\approx 0{,}00125664\\ \text{m}^2.
Vazão volumétrica:
\dot{V}=A\,v=0{,}00125664\cdot 20=0{,}0251328\\ \text{m}^3/\text{s}.
Agora obtenho a vazão mássica de ar seco usando a lei dos gases ideais para o componente ar seco (usa-se a pressão parcial do ar seco e a temperatura local de referência; é mais simples calcular a partir da entrada onde T_1 e p_{a1} são conhecidos):
\dot{m}_a = \frac{p_{a1}\,\dot{V}}{R_a\,T_1},
onde
  • \,p_{a1}=148{,}295\\ \text{Pa} (conforme calculado),
  • \,R_a=287{,}05\\ \text{J/(kg·K)} é a constante do ar seco,
  • \,T_1=15^\circ\text{C}=288{,}15\\ \text{K}.
Substituindo:
\dot{m}_a=\frac{148{,}295\cdot 0{,}0251328}{287{,}05\cdot 288{,}15} \approx 0{,}04506\\ \text{kg/s}.
Explicação didática: usei a pressão parcial do ar seco porque a equação dos gases ideais funciona componente a componente — o volume contém tanto ar seco quanto vapor, mas a pressão parcial do ar seco determina a massa de ar seco naquele volume.
A vazão mássica do vapor é simplesmente
\dot{m}_v = w\,\dot{m}_a \approx 0{,}007149\cdot 0{,}04506 \approx 0{,}000322\\ \text{kg/s}.

Passo 5

Montar a expressão para a potência necessária para aquecer o ar úmido.
Como não há troca de massa de vapor (nem condensação/evaporação), o aquecimento é sensível do ar úmido composto de ar seco + vapor. A potência é
\dot{Q} = \dot{m}_a\,c_{p,a}\,(T_2-T_1) + \dot{m}_v\,c_{p,v}\,(T_2-T_1).
Isso pode ser escrito em forma prática como
\dot{Q} = \dot{m}_a\left(c_{p,a} + w\,c_{p,v}\right)(T_2-T_1),
onde
  • \,c_{p,a} é o calor específico do ar seco (aprox. 1005\\ \text{J/(kg·K)}),
  • \,c_{p,v} é o calor específico do vapor d’água (aprox. 1860\\ \text{J/(kg·K)}),
  • \,w é a razão de mistura já calculada.
Essas constantes são valores padrão razoáveis para problemas de termodinâmica de ar úmido.

Passo 6

Calcular numericamente a potência:
Parâmetros:
c_{p,a}=1005\\ \text{J/(kg·K)},\qquad c_{p,v}=1860\\ \text{J/(kg·K)}.
Calor específico do ar úmido por kg de ar seco:
c_{p,moist}=c_{p,a}+w\,c_{p,v}=1005 + 0{,}007149\cdot 1860 \approx 1018{,}30\\ \text{J/(kg·K)}.
Variação de temperatura:
\Delta T = T_2-T_1 = 35{,}10^\circ\text{C} - 15{,}0^\circ\text{C} = 20{,}10\\ \text{K}.
Agora:
\dot{Q} = \dot{m}_a\,c_{p,moist}\,\Delta T =0{,}04506\cdot 1018{,}30\cdot 20{,}10 \approx 922\\ \text{W}.
Convertendo para kW:
\dot{Q}\approx 0{,}922\\ \text{kW}.
Explicação didática: a potência é o produto da massa que passa por segundo, do calor que cada quilo precisa para aquecer \Delta T, e da diferença de temperatura; incluí o termo em w porque existe vapor no fluxo e ele armazena calor também.

Passo 7

Resumo e verificação rápida dos números (sanity check):
  • A temperatura subiu de 15^\circ\text{C} para cerca de 35^\circ\text{C} — aumento de \sim20^\circ\text{C}. Faz sentido que a umidade relativa caia de 100\% para 30\% com esse aquecimento, porque a pressão de saturação aumenta muito com a temperatura.
  • Vazão mássica de ar seco \sim0{,}045\\ \text{kg/s} é razoável para um tubo pequeno com 20 m/s.
  • Potência de aproximadamente 0{,}9\\ \text{kW} para aquecer esse fluxo é um valor plausível e não absurdo.

Resposta

T_2 \approx 35{,}10^\circ\text{C}\n
\dot{Q} \approx 0{,}922\\ \text{kW}

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