6.140 Ar é admitido em uma turbina de 3600 kW oprando em regime permanente a uma vazão mássica de 18 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} a 800^{\circ} \mathrm{C}, 3 bar e a uma velocidade de 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O ar se expande adiabaticamente através da turbina sendo descarregado a uma velocidade de 150 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O ar então entra em um difusor onde é desacelerado isentropicamente até uma velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e uma pressão de 1 bar. Utilizando o modelo de gás ideal, determine
(a) a pressão e a temperatura do ar na saída da turbina, em bar \mathbf{e}^{\circ} \mathbf{C}, respectivamente.
(b) a taxa de geração de entropia, em kW/K.
(c) Mostre o processo em um diagrama T-s.
Resposta: 891 K

Passo 1

O enunciado descreve ar admitido em regime permanente numa turbina de 3600,kW com vazão mássica \dot m=18,kg/s, entrada em T_3=800^\circ\mathrm C e P_3=3,bar, velocidade V_3=100,m/s. O fluido expande adiabaticamente na turbina até V_1=150,m/s e depois passa por um difusor isentrópico até V_2=10,m/s e P_2=1,bar.
Conteúdos usados:
  • 1ª lei da termodinâmica para volume de controle em regime permanente (energia cinética + entalpia).
  • Modelo de gás ideal com h=c_pT, c_p=1005,J/(kg·K), R=287,J/(kg·K), k=1{,}4.
  • Relações isentrópicas \,s=constante para o difusor.

Passo 2

Escrevendo a 1ª lei para a turbina (adiabática, sem energia potencial):
\dot W \;=\;\dot m\Bigl[(h_3-h_1)+\tfrac{V_1^2 - V_3^2}{2}\Bigr]
com h=c_pT. Logo
c_p\,(T_3 - T_1) =\frac{\dot W}{\dot m} \;+\;\frac{V_1^2 - V_3^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad T_1 = T_3 - \frac{1}{c_p}\Bigl[\tfrac{\dot W}{\dot m} + \tfrac{V_1^2 - V_3^2}{2}\Bigr].

Passo 3

Substituindo \dot W/\dot m=3600\times10^3/18=2{,}00\times10^5,J/kg, V_3=100,m/s, V_1=150,m/s e c_p=1005,J/(kg·K):
c_p\,(T_3 - T_1) =2{,}00\times10^5 + \frac{150^2 - 100^2}{2} =2{,}06\times10^5\quad\Longrightarrow\quad T_1 \approx \frac{c_p\,T_3 -2{,}06\times10^5}{c_p} =867{,}4\\ \mathrm K.

Passo 4

No difusor, aplicamos energia e isentropia entre os estados 1 e 2:
c_pT_1 + \tfrac{V_1^2}{2} = c_pT_2 + \tfrac{V_2^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad T_2 = T_1 + \frac{V_1^2 - V_2^2}{2c_p},
\text{e como }s_2=s_1,\quad \frac{T_2}{T_1} =\Bigl(\frac{P_2}{P_1}\Bigr)^{\tfrac{k-1}{k}} \quad\Longrightarrow\quad P_1 = P_2\Bigl(\frac{T_1}{T_2}\Bigr)^{\tfrac{k}{k-1}}.

Passo 5

Com V_2=10,m/s e P_2=1,bar:
T_2 =867{,}4 + \frac{150^2 - 10^2}{2\cdot1005} \approx 878{,}6\\ \mathrm K,
P_1 =1\\ \mathrm{bar}\times \Bigl(\tfrac{867{,}4}{878{,}6}\Bigr)^{\!3{,}5} \approx 0{,}958\\ \mathrm{bar}.

Passo 6

Convertendo T_1 para graus Celsius:
T_1 = 867{,}4\\ \mathrm K -273{,}15 =594{,}3^\circ\mathrm C.
Portanto, a saída da turbina é
\boxed{P_1\approx0{,}958\\ \mathrm{bar},\quad T_1\approx594{,}3^\circ\mathrm C.}

Passo 7

A geração de entropia ocorre só na turbina (difusor isentrópico). Calculamos
\Delta s = s_1 - s_3 = c_p\ln\!\Bigl(\tfrac{T_1}{T_3}\Bigr) - R\ln\!\Bigl(\tfrac{P_1}{P_3}\Bigr).
Substituindo T_3=1073{,}15,K, P_3=3,bar, T_1=867{,}4,K e P_1=0{,}958,bar:
\Delta s \approx 1005\ln(0{,}808) -287\ln(0{,}319) \approx -213{,}5 +327{,}7 =114{,}2\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Logo a taxa de geração é
\dot S_{\rm gen} =\dot m\,\Delta s =18\times114{,}2 \approx2055\\ \mathrm{J/K\,s} =2{,}06\\ \mathrm{kW/K}.

Passo 8

Diagrama T- s esquemático:
\begin{aligned} &\text{– Partida no ponto 3: alta }T,\,s_3.\\\ &\text{– Expansão na turbina (adiabática irreversível): }T\downarrow,\;s\uparrow\;\to\;1.\\\ &\text{– Difusor isentrópico: }s=\text{constante},\;T\nearrow\;\to\;2. \end{aligned}ãáíó
Gráfico qualitativo:
\begin{array}{l} T\vspace{1ex}\\\ \quad\bullet\,(3) \;\longrightarrow\; \bullet\,(1)\;\uparrow\; \bullet\,(2)\\\ \quad\underbrace{\rule{6em}{0pt}}_{s} \end{array}

Resposta

(a) P_1\approx0{,}958,bar e T_1\approx594{,}3^\circ\mathrm C.
(b) \dot S_{\mathrm{gen}}\approx2{,}06,kW/K.
(c) Veja o esboço no Passo 8.

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