Um conjunto cilindro-pistão inicialmente contém 0,1 \mathrm{~m}^{3} de dióxido de carbono gasoso a 0,3 bar e 400 K . O gás é comprimido isentropicamente até um estado em que a temperatura é de 560 K . Usando o modelo de gás ideal e desprezando efeitos de energia cinética e potencial, determine a pressão final em bar, e o trabalho em kJ, utilizando
(c) uma razão de calores específicos constante obtida da Tabela A-20 a 300K.

Passo 1

O enunciado descreve dióxido de carbono ideal em um cilindro-pistão, com volume inicial V_1=0,1\\ \mathrm{m}^3, pressão inicial P_1=0,3\\ \mathrm{bar} e temperatura inicial T_1=400\\ \mathrm{K}. O gás é comprimido de forma isentrópica até T_2=560\\ \mathrm{K}. Usaremos o valor de razão de calores específicos constante a 300\\ \mathrm{K} da Tabela A-20 e desprezaremos variações de energia cinética e potencial. Vamos determinar a pressão final P_2 e o trabalho W.

Passo 2

Primeiro obtemos da Tabela A-20 para \mathrm{CO_2} a 300\\ \mathrm{K}:
c_p = 0{,}844\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\quad R = 0{,}1889\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Calculando
c_v = c_p - R = 0{,}844 - 0{,}1889 = 0{,}6551\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
\gamma = \frac{c_p}{c_v} = \frac{0{,}844}{0{,}6551}\approx1{,}29.

Passo 3

Determinar a massa de gás usando a equação de estado ideal:
P_1V_1 = m\,R\,T_1.
Convertendo P_1=0{,}3\\ \mathrm{bar}=30\\ \mathrm{kPa} e lembrando que 1\\ \mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3=1\\ \mathrm{kJ}, tem-se
m = \frac{P_1V_1}{R\,T_1} = \frac{30\cdot0,1}{0{,}1889\cdot400} = \frac{3}{75{,}56} \approx0{,}0397\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Para um processo isentrópico com \gamma constante vale
\frac{T_2}{T_1} = \Bigl(\frac{P_2}{P_1}\Bigr)^{\!\tfrac{\gamma-1}{\gamma}}.
Isolando P_2,
P_2 = P_1\Bigl(\frac{T_2}{T_1}\Bigr)^{\!\tfrac{\gamma}{\gamma-1}}.
Substituindo valores:
\frac{T_2}{T_1} = \frac{560}{400} = 1{,}4,\quad \frac{\gamma}{\gamma-1} = \frac{1{,}29}{0{,}29}\approx4{,}45,
P_2 = 0{,}3\\ \mathrm{bar}\times (1{,}4)^{4{,}45} \approx 0{,}3\times4{,}50 \approx1{,}35\\ \mathrm{bar}.

Passo 5

O trabalho realizado pelo gás num processo isentrópico ( n=\gamma) é
W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma} \quad\Longrightarrow\quad W = \frac{m\,R\,(T_2 - T_1)}{1-\gamma}.
Calculando:
T_2 - T_1 = 160\\ \mathrm{K},\quad 1-\gamma = -0{,}29,
W = \frac{0{,}0397\cdot0{,}1889\cdot160}{-0{,}29} \approx \frac{1{,}20}{-0{,}29} \approx -4{,}1\\ \mathrm{kJ}.
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o gás (compressão).

Resposta

Pressão final P_2 \approx 1,35\\ \mathrm{bar}.
Trabalho W \approx -4,1\\ \mathrm{kJ} (trabalho sobre o sistema).

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