15.142 A chapa A B D e a barra O B estão ligadas rigidamente e giram em torno da junta esférica O com velocidade angular \boldsymbol{\omega}=\omega_{x} \mathbf{i}+\omega_{y} \mathbf{j}+\omega_{z} \mathbf{k}. Sabendo que v_{A}=0,356 \mathbf{i}+0,406 \mathbf{j}+ +\left(v_{A}\right)_{z} k(\mathrm{~m} / \mathrm{s}) e \omega_{x}=2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, determine (a) velocidade angular do sistema e (b) a velocidade do ponto D.

Passo 1

Temos um corpo rígido que gira em torno de O com \boldsymbol\omega=(\omega_x,\;\omega_y,\;\omega_z). O ponto A está sobre o eixo z (logo \mathbf r_A=(0,0,z_A)), e nos foi dado
\mathbf v_A = 0{,}356\,\mathbf i + 0{,}406\,\mathbf j + (v_A)_z\,\mathbf k
e \omega_x=2\\ \rm rad/s. Queremos usar
\mathbf v_A \;=\;\boldsymbol\omega\times\mathbf r_A
para obter \omega_y e \omega_z, e depois, sabendo \boldsymbol\omega, achar \mathbf v_D.

Passo 2

Escrevendo a circulação para A:
\boldsymbol\omega\times\mathbf r_A = \begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\ \omega_x&\omega_y&\omega_z\\\\ 0&0&z_A \end{vmatrix} = \bigl(\omega_y\,z_A\bigr)\,\mathbf i \;+\;\bigl(-\omega_x\,z_A\bigr)\,\mathbf j\;+\;0\,\mathbf k.
Portanto
v_{A,x}=\omega_y\,z_A,\quad v_{A,y}=-\omega_x\,z_A,\quad v_{A,z}=0.

Passo 3

Da componente y:
0{,}406 = v_{A,y} = -\omega_x\,z_A = -2\,z_A \quad\Longrightarrow\quad z_A = -\frac{0{,}406}{2} = -0{,}203\\ {\rm m}.

Passo 4

Da componente x:
0{,}356 = v_{A,x} = \omega_y\,z_A = \omega_y\,( -0{,}203 ) \quad\Longrightarrow\quad \omega_y = -\frac{0{,}356}{0{,}203}\approx -1{,}75\\ {\rm rad/s}.

Passo 5

A componente z do rotor dá
v_{A,z}=0 \;=\;(\omega_x\cdot0-\omega_y\cdot0)=0,
ou seja, não aparece \omega_z nessa expressão. Como não há nenhum valor numérico fornecido para (v_A)_z que nos desse outra equação envolvendo \omega_z, falta informação para determinar \omega_z.

Passo 6

Sem \omega_z não podemos formar o vetor completo \boldsymbol\omega nem, em seguida, usar
\mathbf v_D = \boldsymbol\omega\times\mathbf r_D
para achar \mathbf v_D.

Resposta

Não há informação suficiente (falta o valor de (v_A)_z) para obter \omega_z e, consequentemente, a velocidade de D.

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