15.148 O ventilador do motor de um automóvel gira em torno de um eixo horizontal à razão de 2.500 rpm , no sentido horário quando visto da parte detrás do motor. Sabendo que o veículo está virando para a direita ao longo de uma trajetória de 12,2 \mathrm{~m} de raio a uma velocidade
constante de 14,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, determine a aceleração angular do ventilador no instante em que o carro está se movendo para o norte.

Passo 1

O enunciado diz que o ventilador gira a 2500 rpm em torno de um eixo horizontal do carro. Como o carro faz uma curva à direita de raio 12,2 m com velocidade constante de 14,5 km/h, o conjunto (eixo do ventilador) está girando em torno do eixo vertical do carro com velocidade angular \omega_{\rm carro}=v/r.
Essa rotação do eixo faz com que, no referencial inercial, o vetor velocidade angular do ventilador descreva uma precessão, gerando uma aceleração angular \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\omega}_{\rm carro}\times\boldsymbol{\omega}_{\rm ventilador}.

Passo 2

Calcular a velocidade angular de guinada do carro:
a) converter v=14{,}5,km/h para m/s:
v = 14{,}5\times\frac{1000}{3600}=4{,}0278\\ \text{m/s}.
b) dividir pelo raio r=12{,}2,m:
\omega_{\rm carro}=\frac{v}{r} =\frac{4{,}0278}{12{,}2} =0{,}3302\\ \text{s}^{-1}.

Passo 3

Converter a rotação do ventilador de 2500 rpm para rad/s:
\omega_{\rm ventilador} =2\,500\frac{\text{rev}}{\text{min}} \;\times\frac{1\\ \text{min}}{60\\ \text{s}} \;\times2\pi\frac{\text{rad}}{\text{rev}} =261{,}80\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Como os eixos são perpendiculares, o módulo da aceleração angular vale
\alpha =\bigl|\omega_{\rm carro}\bigr|\;\bigl|\omega_{\rm ventilador}\bigr| =0{,}3302\times261{,}80 \approx86{,}4\\ \text{rad/s}^2.

Resposta

A aceleração angular do ventilador, em módulo, é aproximadamente
86{,}4\\ \text{rad/s}^2.

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