15.157 Um disco de raio
está montado num eixo de comprimento
. O eixo está preso a um eixo girante
que possui velocidade angular constante
. O disco gira em torno de
a uma velocidade constante
. Sabendo que o ângulo
permanece fixo e que a borda do disco toca o eixo
, determine (a) a aceleração angular do disco, (b) a velocidade e (c) a aceleração do ponto
.
Passo 1
Resumo do problema e conteúdo aplicado
Um disco de raio está montado no eixo
de comprimento
. Esse eixo
gira com velocidade angular constante
em torno de si mesmo, enquanto o próprio eixo
gira com velocidade angular constante
em torno do eixo fixo
. O ângulo entre os eixos
e
é constante e igual a
. A borda do disco toca o eixo
num ponto
.
Conteúdos envolvidos:
Um disco de raio
Conteúdos envolvidos:
- Composição de velocidades angulares vetoriais.
- Derivação vetorial para obter aceleração angular.
- Cinemática de corpo rígido:
e
.
Passo 2
Definição dos versores e do vetor velocidade angular total
Seja o versor ao longo de
,
o versor ao longo de
,
e o versor perpendicular ao plano de
e
, dado por
Seja
e
Como os dois giros são independentes e simultâneos, o vetor velocidade angular resultante do disco é
Passo 3
Cálculo da aceleração angular
A aceleração angular é a derivada vetorial de no referencial fixo. Como
e
são constantes, a única variação vem da mudança de direção de
ao girar em torno de
:
A aceleração angular é a derivada vetorial de
Passo 4
Posição do ponto
em relação a
O ponto está na borda do disco e o centro
fica a
de
ao longo de
. A posição de
em relação a
é portanto
O ponto
Passo 5
Velocidade absoluta de
Usamos
Usamos
Substituindo
e
, obtemos, após usar as regras de produto vetorial e
,
Passo 6
Aceleração absoluta de
Aplicamos
Aplicamos
- Já vimos
. Então
- Para
vale a identidade . Como (\boldsymbol\omega\cdot\mathbf{r}{AC}
=\omega{1}(2r,\mathbf{n}{3}\cdot\mathbf{n}{2})+\omega_{2}(2r,\mathbf{n}{2}\cdot\mathbf{n}{2})
- ···) e
, , conclui-se .
Além disso.
Logo
Somando 1) e 2) dá-se a expressão completa para
.
Resposta
(a)
(b)
(c)