15.157 Um disco de raio r está montado num eixo de comprimento 2 r. O eixo está preso a um eixo girante A D que possui velocidade angular constante \omega_{1}. O disco gira em torno de A B a uma velocidade constante \omega_{2}. Sabendo que o ângulo \theta permanece fixo e que a borda do disco toca o eixo y, determine (a) a aceleração angular do disco, (b) a velocidade e (c) a aceleração do ponto C.

Passo 1

Resumo do problema e conteúdo aplicado
Um disco de raio \,r está montado no eixo AB de comprimento 2r. Esse eixo AB gira com velocidade angular constante \omega_{2} em torno de si mesmo, enquanto o próprio eixo AB gira com velocidade angular constante \omega_{1} em torno do eixo fixo AD. O ângulo entre os eixos AB e AD é constante e igual a \theta. A borda do disco toca o eixo y num ponto C.
Conteúdos envolvidos:
  1. Composição de velocidades angulares vetoriais.
  2. Derivação vetorial para obter aceleração angular.
  3. Cinemática de corpo rígido: \mathbf{v}_{C} = \boldsymbol\omega \times \mathbf{r}_{AC} e
    \mathbf{a}_{C} = \boldsymbol\alpha \times \mathbf{r}_{AC} \;+\;\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf{r}_{AC}).

Passo 2

Definição dos versores e do vetor velocidade angular total
Seja \mathbf{n}_{3} o versor ao longo de AD, \mathbf{n}_{2} o versor ao longo de AB,
e \mathbf{n}_{1} o versor perpendicular ao plano de \mathbf{n}_{2} e \mathbf{n}_{3}, dado por
\mathbf{n}_{1} \;=\;\frac{\mathbf{n}_{2}\times\mathbf{n}_{3}}{\|\mathbf{n}_{2}\times\mathbf{n}_{3}\|}\quad\text{com}\;\|\mathbf{n}_{2}\times\mathbf{n}_{3}\|=\sin\theta.
Como os dois giros são independentes e simultâneos, o vetor velocidade angular resultante do disco é
\boldsymbol\omega \;=\;\omega_{1}\,\mathbf{n}_{3}\;+\;\omega_{2}\,\mathbf{n}_{2}.

Passo 3

Cálculo da aceleração angular \boldsymbol\alpha
A aceleração angular é a derivada vetorial de \boldsymbol\omega no referencial fixo. Como \omega_{1} e \omega_{2} são constantes, a única variação vem da mudança de direção de \mathbf{n}_{2} ao girar em torno de \mathbf{n}_{3}:
\boldsymbol\alpha = \frac{d\boldsymbol\omega}{dt} = \omega_{1}\,\mathbf{n}_{3}\times\bigl(\omega_{2}\,\mathbf{n}_{2}\bigr) = \omega_{1}\,\omega_{2}\,(\mathbf{n}_{3}\times\mathbf{n}_{2}) = \omega_{1}\,\omega_{2}\,\sin\theta\;\mathbf{n}_{1}.

Passo 4

Posição do ponto C em relação a A
O ponto C está na borda do disco e o centro B fica a 2r de A ao longo de \mathbf{n}_{2}. A posição de C em relação a A é portanto
\mathbf{r}_{AC} \;=\; 2r\,\mathbf{n}_{2}\;+\;r\,\mathbf{n}_{1}.

Passo 5

Velocidade absoluta de C
Usamos
\mathbf{v}_{C} \;=\;\boldsymbol\omega\times\mathbf{r}_{AC}.
Substituindo \boldsymbol\omega=\omega_{1}\mathbf{n}_{3}+\omega_{2}\mathbf{n}_{2} e \mathbf{r}_{AC}=2r\,\mathbf{n}_{2}+r\,\mathbf{n}_{1}, obtemos, após usar as regras de produto vetorial e \mathbf{n}_{i}\times\mathbf{n}_{i}=0,
\mathbf{v}_{C} = \omega_{1}\mathbf{n}_{3}\times\bigl(2r\,\mathbf{n}_{2}+r\,\mathbf{n}_{1}\bigr) \;+\;\omega_{2}\mathbf{n}_{2}\times\bigl(2r\,\mathbf{n}_{2}+r\,\mathbf{n}_{1}\bigr)
\begin{aligned} &= 2r\,\omega_{1}\,(\mathbf{n}_{3}\times\mathbf{n}_{2}) \;+\;r\,\omega_{1}\,(\mathbf{n}_{3}\times\mathbf{n}_{1}) \;+\;r\,\omega_{2}\,(\mathbf{n}_{2}\times\mathbf{n}_{1})\\\ &= 2r\,\omega_{1}\,(-\sin\theta\,\mathbf{n}_{1}) \;+\;r\,\omega_{1}\,(\sin\theta\,\mathbf{n}_{2}) \;+\;r\,\omega_{2}\,(-\mathbf{n}_{3})\\\ &= -\,2r\,\omega_{1}\,\sin\theta\;\mathbf{n}_{1} \;+\;r\,\omega_{1}\,\sin\theta\;\mathbf{n}_{2} \;-\;r\,\omega_{2}\;\mathbf{n}_{3}. \end{aligned}

Passo 6

Aceleração absoluta de C
Aplicamos
\mathbf{a}_{C} = \boldsymbol\alpha\times\mathbf{r}_{AC} \;+\;\boldsymbol\omega\times\bigl(\boldsymbol\omega\times\mathbf{r}_{AC}\bigr).
  1. Já vimos \boldsymbol\alpha=\omega_{1}\omega_{2}\sin\theta\,\mathbf{n}_{1}. Então
\boldsymbol\alpha\times\mathbf{r}_{AC} = \omega_{1}\omega_{2}\sin\theta\,\mathbf{n}_{1}\times\bigl(2r\,\mathbf{n}_{2}+r\,\mathbf{n}_{1}\bigr) = 2r\,\omega_{1}\omega_{2}\sin\theta\,(\mathbf{n}_{1}\times\mathbf{n}_{2}) = -\,2r\,\omega_{1}\omega_{2}\,\sin^{2}\theta\;\mathbf{n}_{3}.
  1. Para \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf{r}_{AC}) vale a identidade \boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf{r})=\boldsymbol\omega(\boldsymbol\omega\cdot\mathbf{r})-\mathbf{r}\,\|\boldsymbol\omega\|^{2}. Como (\boldsymbol\omega\cdot\mathbf{r}{AC}
    =\omega
    {1}(2r,\mathbf{n}{3}\cdot\mathbf{n}{2})+\omega_{2}(2r,\mathbf{n}{2}\cdot\mathbf{n}{2})
  • ···) e \mathbf{n}_{3}\perp\mathbf{n}_{2}, \mathbf{n}_{1}\perp\mathbf{n}_{2},\mathbf{n}_{3}, conclui-se \boldsymbol\omega\cdot\mathbf{r}_{AC}=2r\,\omega_{2}.
    Além disso \|\boldsymbol\omega\|^{2} =\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+2\,\omega_{1}\omega_{2}\cos\theta.
    Logo
\boldsymbol\omega\times(\boldsymbol\omega\times\mathbf{r}_{AC}) = \boldsymbol\omega\,(2r\,\omega_{2}) \;-\;(2r\,\mathbf{n}_{2}+r\,\mathbf{n}_{1})\, \bigl(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+2\omega_{1}\omega_{2}\cos\theta\bigr).
Somando 1) e 2) dá-se a expressão completa para \mathbf{a}_{C}.

Resposta

(a) \displaystyle \boldsymbol\alpha = \omega_{1}\,\omega_{2}\,\sin\theta\;\mathbf{n}_{1}.
(b) \displaystyle \mathbf{v}_{C} = -\,2r\,\omega_{1}\,\sin\theta\;\mathbf{n}_{1} \;+\;r\,\omega_{1}\,\sin\theta\;\mathbf{n}_{2} \;-\;r\,\omega_{2}\;\mathbf{n}_{3}.
(c) \displaystyle \mathbf{a}_{C} = -\,2r\,\omega_{1}\,\omega_{2}\,\sin^{2}\theta\;\mathbf{n}_{3} \;+\;\boldsymbol\omega\,(2r\,\omega_{2}) \;-\;(2r\,\mathbf{n}_{2}+r\,\mathbf{n}_{1})\, (\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+2\omega_{1}\omega_{2}\cos\theta).

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