15.8(a) O comprimento da ligação do
é de
. Use a aproximação para altas temperaturas para calcular a funçâo de partição rotacional dessa molecula a 300 K .
Passo 1
O enunciado dá o comprimento da ligação de
e a temperatura, e pede a função de partição rotacional no limite de altas temperaturas. Informação e pedido claramente listados:
- Comprimento da ligação:
. - Temperatura:
. - Pedir: calcular a função de partição rotacional de
usando a aproximação para altas temperaturas.
Passo 2
Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar cada símbolo (a parte teórica mastigada).
- Para um rotor rígido linear (molécula diatômica) a soma exata da partição rotacional é
, onde são os níveis rotacionais. - No regime de altas temperaturas essa soma pode ser aproximada por uma integral e a expressão assintótica resulta em
Explicação dos termos:
-
é o momento de inércia da molécula (em ). -
é a constante de Boltzmann ( ). -
é a temperatura em kelvin. -
é a constante de Planck ( ). -
é o número de simetria rotacional: para (diatômica homonuclear) vale porque trocar os dois átomos corresponde a uma rotação de que deixa a molécula indistinguível.
Observação útil: outra forma usual da mesma fórmula é
onde
é a “temperatura rotacional”. A aproximação de alta temperatura é válida quando
.
Passo 3
Calcular o momento de inércia
. Para um diatômico homonuclear
onde
é a massa reduzida e
é a distância entre os núcleos.
- Massa atômica aproximada de oxigênio:
. - Unidade de massa atômica:
.
Portanto a massa reduzida é
Calculemos numericamente
:
Agora convertemos
para metros:
.
Agora :
Agora
Calculemos
:
Logo
(arredondado a sete algarismos significativos para clareza).
Passo 4
Verificar rapidamente a validade da aproximação de alta temperatura calculando a temperatura rotacional
. Usamos
onde
. Calculemos:
Como
, a aproximação de alta temperatura é totalmente válida.
Passo 5
Calcular
usando a fórmula
Substituindo valores numéricos:
-
. -
. -
. -
. -
. -
(aproximadamente).
Façamos o numerador passo a passo:
Multiplicando em etapas:
aplicando os expoentes:
Assim o numerador é
em unidades compatíveis. Agora dividimos por
:
Finalmente dividimos por
:
Arredondando de forma prática para duas casas decimais:
Passo 6
Interpretação rápida e dica para prova: o valor
significa que muitos níveis rotacionais estão acessíveis a
, o que justifica que a aproximação contínua (alta temperatura) seja boa. Na prova, memorize a fórmula
e saiba calcular
com
para um diatômico homonuclear.