15.8(a) O comprimento da ligação do \mathrm{O}_{2} é de 120,75 \mathrm{pm}. Use a aproximação para altas temperaturas para calcular a funçâo de partição rotacional dessa molecula a 300 K .

Passo 1

O enunciado dá o comprimento da ligação de \mathrm{O}_2 e a temperatura, e pede a função de partição rotacional no limite de altas temperaturas. Informação e pedido claramente listados:
  • Comprimento da ligação: r=120{,}75\\ \mathrm{pm}.
  • Temperatura: T=300\\ \mathrm{K}.
  • Pedir: calcular a função de partição rotacional de \mathrm{O}_2 usando a aproximação para altas temperaturas.

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar cada símbolo (a parte teórica mastigada).
  • Para um rotor rígido linear (molécula diatômica) a soma exata da partição rotacional é \displaystyle q_{\mathrm{rot}}=\sum_{J=0}^{\infty}(2J+1)\,e^{-\beta E_J}, onde E_J são os níveis rotacionais.
  • No regime de altas temperaturas essa soma pode ser aproximada por uma integral e a expressão assintótica resulta em
q_{\mathrm{rot}}\approx\frac{8\pi^{2}I k_B T}{\sigma h^{2}}.
Explicação dos termos:
  • I é o momento de inércia da molécula (em \mathrm{kg\,m^{2}}).
  • k_B é a constante de Boltzmann ( k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}).
  • T é a temperatura em kelvin.
  • h é a constante de Planck ( h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}).
  • \sigma é o número de simetria rotacional: para \mathrm{O}_2 (diatômica homonuclear) vale \sigma=2 porque trocar os dois átomos corresponde a uma rotação de 180^\circ que deixa a molécula indistinguível.
Observação útil: outra forma usual da mesma fórmula é
q_{\mathrm{rot}}\approx\frac{k_B T}{\sigma \theta_{\mathrm{rot}}},
onde \theta_{\mathrm{rot}}=\dfrac{\hbar^{2}}{2I k_B} é a “temperatura rotacional”. A aproximação de alta temperatura é válida quando T\gg\theta_{\mathrm{rot}}.

Passo 3

Calcular o momento de inércia I. Para um diatômico homonuclear
I=\mu r^{2},
onde \mu é a massa reduzida e r é a distância entre os núcleos.
  • Massa atômica aproximada de oxigênio: m_{\mathrm{O}}=16\\ \mathrm{u}.
  • Unidade de massa atômica: 1\\ \mathrm{u}=1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
    Portanto a massa reduzida é
\mu=\frac{m_{\mathrm{O}}}{2}=8{,}0\\ \mathrm{u}=8{,}0\times1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
Calculemos numericamente \mu:
\mu=8{,}0\times1{,}66053906660\times10^{-27}=1{,}32843125328\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
Agora convertemos r para metros: r=120{,}75\\ \mathrm{pm}=120{,}75\times10^{-12}\\ \mathrm{m}=1{,}2075\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Agora I:
I=\mu r^{2}=1{,}32843125328\times10^{-26}\times\bigl(1{,}2075\times10^{-10}\bigr)^{2}.
Calculemos r^{2}:
r^{2}=(1{,}2075)^{2}\times10^{-20}=1{,}4580640625\times10^{-20}\\ \mathrm{m^{2}}.
Logo
I=1{,}32843125328\times10^{-26}\times1{,}4580640625\times10^{-20}=1{,}937463\times10^{-46}\\ \mathrm{kg\,m^{2}}
(arredondado a sete algarismos significativos para clareza).

Passo 4

Verificar rapidamente a validade da aproximação de alta temperatura calculando a temperatura rotacional \theta_{\mathrm{rot}}. Usamos
\theta_{\mathrm{rot}}=\frac{\hbar^{2}}{2I k_B},
onde \hbar=\dfrac{h}{2\pi}=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}. Calculemos:
\hbar^{2}=1{,}054571817^{2}\times10^{-68}=1{,}112121\times10^{-68}\\ \mathrm{J^{2}s^{2}}.
2I k_B=2\times1{,}937463\times10^{-46}\times1{,}380649\times10^{-23}=5{,}349\times10^{-69}\\ \mathrm{J}.
\theta_{\mathrm{rot}}=\frac{1{,}112121\times10^{-68}}{5{,}349\times10^{-69}}\approx2{,}08\\ \mathrm{K}.
Como T=300\\ \mathrm{K}\gg\theta_{\mathrm{rot}}\approx2{,}08\\ \mathrm{K}, a aproximação de alta temperatura é totalmente válida.

Passo 5

Calcular q_{\mathrm{rot}} usando a fórmula
q_{\mathrm{rot}}\approx\frac{8\pi^{2}I k_B T}{\sigma h^{2}}.
Substituindo valores numéricos:
  • 8\pi^{2}\approx78{,}956835.
  • I=1{,}937463\times10^{-46}\\ \mathrm{kg\,m^{2}}.
  • k_B=1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}.
  • T=300\\ \mathrm{K}.
  • \sigma=2.
  • h^{2}=(6{,}62607015\times10^{-34})^{2}=4{,}394\times10^{-67}\\ \mathrm{J^{2}s^{2}} (aproximadamente).
Façamos o numerador passo a passo:
8\pi^{2} I k_B T = 78{,}956835 \times 1{,}937463\times10^{-46}\times1{,}380649\times10^{-23}\times300.
Multiplicando em etapas:
78{,}956835\times1{,}937463\approx152{,}936,
152{,}936\times1{,}380649\approx211{,}256,
211{,}256\times300\approx63{,}376{,}8,
aplicando os expoentes:
63{,}376{,}8\times10^{-69}=6{,}33768\times10^{-65}.
Assim o numerador é \approx6{,}3377\times10^{-65} em unidades compatíveis. Agora dividimos por h^{2}\approx4{,}394\times10^{-67}:
\frac{6{,}3377\times10^{-65}}{4{,}394\times10^{-67}}\approx144{,}49.
Finalmente dividimos por \sigma=2:
q_{\mathrm{rot}}\approx\frac{144{,}49}{2}=72{,}245\ldots
Arredondando de forma prática para duas casas decimais:
q_{\mathrm{rot}}\approx72{,}25.

Passo 6

Interpretação rápida e dica para prova: o valor \,q_{\mathrm{rot}}\sim72 significa que muitos níveis rotacionais estão acessíveis a 300\\ \mathrm{K}, o que justifica que a aproximação contínua (alta temperatura) seja boa. Na prova, memorize a fórmula \displaystyle q_{\mathrm{rot}}\approx\frac{8\pi^{2}Ik_BT}{\sigma h^{2}} e saiba calcular I=\mu r^{2} com \mu=\dfrac{m_{\mathrm{átomo}}}{2}á para um diatômico homonuclear.

Resposta

q_{\mathrm{rot}}\approx72{,}25

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