15.7(b) Em que proporção o numero de configurações acessíveis aumenta quando
de ar, a 1 atm e 300 K , expandem-se de
, a pressão constante?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei os números do enunciado):
- Volume inicial de ar:
. - Pressão:
. - Temperatura:
. - A expansão é de
, ou seja, a fração de variação do volume é
O enunciado pergunta: em que proporção (fator multiplicativo) o número de configurações acessíveis
aumenta quando o gás sofre essa expansão a pressão constante.
Passo 2
Entendendo qual relação usar entre
e
. Ideia física e formulação:
- Para um gás ideal clássico, o número de microestados configuracionais (o “número de maneiras” de posicionar as partículas no volume) é proporcional a
, onde é o número de moléculas. Intuitivamente: cada uma das partículas pode ocupar qualquer ponto do volume, então as possibilidades multiplicam-se como . - Assim, se o volume passa de
para , - Para uma pequena variação relativa
com , é útil trabalhar com logaritmo: (a aproximação usa para ). Então
Também a variação relativa (aumentamento relativo) pode ser aproximada por
porque para pequenas
,
se
não for enorme — cuidado, aqui
será enorme, então a forma exponencial é mais adequada para o fator multiplicativo; porém a expressão linear
dá a ordem de grandeza da variação absoluta relativa quando
é usado para comparar.
Passo 3
Calcular o número de mols
e o número de moléculas
no volume
usando a equação dos gases ideais:
Substituindo os valores (pego do enunciado e constantes conhecidas:
):
Faço a conta passo a passo:
Portanto
Agora o número de moléculas é
, com
:
Passo 4
Calcular o parâmetro
que entra no expoente:
Passo 5
Avaliar a proporção
. Usando a relação exponencial:
Esse número é astronomicamente grande — uma exponencial com expoente da ordem de
é incomensuravelmente enorme, muito além de qualquer número físico manipulável.
Também é útil dar a variação relativa aproximada:
ou, se alguém usar a aproximação linear (não válida numericamente quando
é gigantesco, mas útil para noção),
Observação de física: mesmo uma expansão minúscula em percentual gera um aumento de microestados absurdamente grande porque
(número de moléculas) é enorme.
Passo 6
Interpretação final e lembrete prático para prova:
- Em provas, justificar que
e daí escrever é o caminho curto e correto. - Para pequenas variações
, usar para chegar à forma exponencial . - Calcule
com e . Tenha cuidado com unidades (Pa, m^3, J/(mol K), K). - Aqui o resultado mostra que mesmo
leva a colossal, porque o fator multiplica .