15.7(b) Em que proporção o numero de configurações acessíveis aumenta quando 20 \mathrm{~m}^{\prime} de ar, a 1 atm e 300 K , expandem-se de 0,0010 %, a pressão constante?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei os números do enunciado):
  • Volume inicial de ar: V=20\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Pressão: P=1\\ \text{atm}=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura: T=300\\ \mathrm{K}.
  • A expansão é de 0{,}0010\%, ou seja, a fração de variação do volume é \varepsilon=\frac{\Delta V}{V}=0{,}0010\% = 1{,}0\times10^{-5}.
O enunciado pergunta: em que proporção (fator multiplicativo) o número de configurações acessíveis \Omega aumenta quando o gás sofre essa expansão a pressão constante.

Passo 2

Entendendo qual relação usar entre \Omega e V. Ideia física e formulação:
  • Para um gás ideal clássico, o número de microestados configuracionais (o “número de maneiras” de posicionar as partículas no volume) é proporcional a V^{N}, onde N é o número de moléculas. Intuitivamente: cada uma das N partículas pode ocupar qualquer ponto do volume, então as possibilidades multiplicam-se como V\times V\times\cdots\times V=V^{N}.
  • Assim, se o volume passa de V_i para V_f, \frac{\Omega_f}{\Omega_i}=\left(\frac{V_f}{V_i}\right)^{N}.
  • Para uma pequena variação relativa \varepsilon=\Delta V/V com V_f=V_i(1+\varepsilon), é útil trabalhar com logaritmo: \ln\!\left(\frac{\Omega_f}{\Omega_i}\right)=N\ln(1+\varepsilon)\approx N\varepsilon(a aproximação usa \ln(1+\varepsilon)\approx\varepsilon para \varepsilon\ll1). Então \frac{\Omega_f}{\Omega_i}\approx e^{N\varepsilon}.
Também a variação relativa (aumentamento relativo) pode ser aproximada por
\frac{\Delta\Omega}{\Omega}=\frac{\Omega_f-\Omega_i}{\Omega_i}\approx N\varepsilon,
porque para pequenas \varepsilon, e^{N\varepsilon}-1\approx N\varepsilon se N\varepsilon não for enorme — cuidado, aqui N\varepsilon será enorme, então a forma exponencial é mais adequada para o fator multiplicativo; porém a expressão linear N\varepsilon dá a ordem de grandeza da variação absoluta relativa quando N\varepsilon é usado para comparar.

Passo 3

Calcular o número de mols n e o número de moléculas N no volume V=20\\ \mathrm{m^{3}} usando a equação dos gases ideais:
n=\frac{PV}{RT}.
Substituindo os valores (pego do enunciado e constantes conhecidas: R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}):
n=\frac{(1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa})\cdot(20\\ \mathrm{m^{3}})}{8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}\cdot300\\ \mathrm{K}}.
Faço a conta passo a passo:
\text{numerador}=1{,}013\times10^{5}\times20=2{,}026\times10^{6},
\text{denominador}=8{,}314\times300=2{,}494{,}2.
Portanto
n=\frac{2{,}026\times10^{6}}{2{,}494{,}2}\approx812{,}28\\ \text{mol}.
Agora o número de moléculas é N=nN_A, com N_A=6{,}02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}:
N\approx812{,}28\times6{,}02214\times10^{23}\approx4{,}89\times10^{26}.

Passo 4

Calcular o parâmetro N\varepsilon que entra no expoente:
N\varepsilon\approx(4{,}89\times10^{26})\times(1{,}0\times10^{-5})=4{,}89\times10^{21}.

Passo 5

Avaliar a proporção \Omega_f/\Omega_i. Usando a relação exponencial:
\frac{\Omega_f}{\Omega_i}\approx e^{N\varepsilon}\approx e^{4{,}89\times10^{21}}.
Esse número é astronomicamente grande — uma exponencial com expoente da ordem de 10^{21} é incomensuravelmente enorme, muito além de qualquer número físico manipulável.
Também é útil dar a variação relativa aproximada:
\frac{\Delta\Omega}{\Omega}=\frac{\Omega_f-\Omega_i}{\Omega_i}=e^{N\varepsilon}-1\approx e^{4{,}89\times10^{21}}-1\approx e^{4{,}89\times10^{21}},
ou, se alguém usar a aproximação linear (não válida numericamente quando N\varepsilon é gigantesco, mas útil para noção),
\frac{\Delta\Omega}{\Omega}\approx N\varepsilon\approx4{,}89\times10^{21}.
Observação de física: mesmo uma expansão minúscula em percentual gera um aumento de microestados absurdamente grande porque N (número de moléculas) é enorme.

Passo 6

Interpretação final e lembrete prático para prova:
  • Em provas, justificar que \Omega\propto V^{N} e daí escrever \Omega_f/\Omega_i=(V_f/V_i)^{N} é o caminho curto e correto.
  • Para pequenas variações \varepsilon, usar \ln(1+\varepsilon)\approx\varepsilon para chegar à forma exponencial e^{N\varepsilon}.
  • Calcule N com n=PV/RT e N=nN_A. Tenha cuidado com unidades (Pa, m^3, J/(mol K), K).
  • Aqui o resultado mostra que mesmo \varepsilon=10^{-5} leva a \Omega_f/\Omega_i colossal, porque o fator N multiplica \varepsilon.

Resposta

\dfrac{\Omega_f}{\Omega_i}\approx e^{4{,}89\times10^{21}}
\dfrac{\Delta\Omega}{\Omega}= \dfrac{\Omega_f-\Omega_i}{\Omega_i}\approx e^{4{,}89\times10^{21}}-1\approx e^{4{,}89\times10^{21}}

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