Represente graficamente y(t) para uma entrada em degrau R(s) quando (a) o T(s) real é usado e (b) usando os polos complexos relativamente dominantes. Compare os resultados.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Representar graficamente y(t) quando a entrada é um degrau unitário (R(s)=1/s) em dois casos:
(a) usando o T(s) real dado;
(b) usando apenas os polos complexos relativamente dominantes (aproximação por polos dominantes).
Portanto os polos complexos são s=-5\pm 5j.
Observação importante (conceito usado depois): os polos com parte real menos negativa (aqui -5\pm5j) são mais lentos e, tipicamente, dominam a resposta transitória; o polo em -50 é rápido (tempo característico \tau=1/50=0{,}02 s) e tende a causar um pulso rápido de pequena amplitude.
Passo 3
Preparar a decomposição em frações parciais para inverter Y(s). Escrevemos:
Substituindo (B=-\dfrac{1}{41}] na primeira equação: C = -1 - B = -1 + \frac{1}{41} = -\frac{40}{41}.
Da terceira equação: 550 + 50B + 50D = 0 \Rightarrow 11 + B + D = 0 \Rightarrow D = -11 - B = -11 + \frac{1}{41} = -\frac{450}{41}.
(A verificação na segunda equação confirma esses valores.)
Preparar a inversão da parte quadrática, escrevendo s^{2}+10s+50=(s+5)^{2}+5^{2} (completar o quadrado) — isso é padrão para inverter funções que geram decaimento exponencial multiplicado por seno/cosseno.
Reescrevemos o numerador Cs + D em função de (s+5):
termo de regime permanente 1 (ganho DC igual a 1),
um pulso rápido de amplitude \dfrac{1}{41}\approx 0{,}02439 com constante de tempo 0{,}02 s (provido pelo polo em -50),
e um oscilador amortecido com frequência amortecida \omega_{d}=5 rad/s e decaimento e^{-5t} (provido pelos polos -5\pm 5j). Esse último domina a forma do transiente para t\gtrsim 0{,}05 s.
Passo 8
Agora fazemos a aproximação por polos dominantes: justificativa e método.
O polo em -50 é muito mais rápido que os polos -5\pm5j. Em respostas de interesse de tempo mais lento (baixas frequências), podemos aproximar (s+50)\approx 50 no denominador (técnica de aproximação por polos dominantes / redução da ordem).
Comparação entre resposta exata e aproximada (interpretação e pontos-chave para o gráfico):
Valores iniciais:
y(0)=0 em ambos os casos (verifique: substituindo t=0 nas expressões dá 0). Isso é coerente com resposta a um degrau em um sistema dinâmico causal sem ação instantânea.
Derivada inicial:
y'(0)=0 em ambos os casos (resultado das contas mostradas), logo a saída começa com inclinação zero.
Componentes transientes:
Resposta exata tem um termo rápido -\dfrac{1}{41}e^{-50t} de amplitude \approx -0{,}0244 que desaparece muito rapidamente (tempo típico 0{,}02 s). Na prática é um “pulso” pequeno logo no início.
Ambas as respostas têm um oscilador amortecido com \omega_{d}=5 rad/s (período T=\dfrac{2\pi}{5}\approx 1{,}257 s) e decaimento e^{-5t} (constante 0{,}2 s), que domina para t\gtrsim 0{,}05 s.
Diferença quantitativa:
A amplitude combinada do termo oscilatório é
na solução exata: M_{\text{ex}}=\sqrt{\left(\tfrac{40}{41}\right)^{2}+\left(\tfrac{50}{41}\right)^{2}}\approx 1{,}5627;
na aproximação: M_{\text{ap}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\approx 1{,}4142.
A aproximação subestima a amplitude oscilatória em cerca de 0{,}1485 absoluto, ou aproximadamente 9{,}5\% relativo.
O termo rápido de amplitude 1/41\approx 0{,}0244 é muito pequeno; portanto, graficamente, as curvas exata e aproximada praticamente coincidem após os primeiros \sim 0{,}05 s, com diferenças máximas pequenas no início.
Conclusão gráfica (como desenhar):
Ambas as curvas iniciam em 0, com pequena curvatura inicial e logo surgem oscilações amortecidas em torno de y=1.
A resposta exata apresenta um pequeno pico/perturbação muito rápida logo em t\approx 0 (devido a e^{-50t}), mas depois das primeiras dezenas de milésimos de segundo as duas curvas ficam quase sobrepostas.
Para a prova: basta mostrar a curva de oscilação amortecida 1-e^{-5t}(\cdots) e anotar o pequeno pulso adicional -\dfrac{1}{41}e^{-50t} presente na resposta exata.