16.13 Em uma operação de torneamento em ferro fundido, o raio de ponta da ferramenta é igual a 1,5 \mathrm{~mm}, o avanço é 0,22 \mathrm{~mm} / \mathrm{rot}, e a velocidade de corte é 1,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule a rugosidade de superfície estimada para esse corte.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a rugosidade estimada do corte:
  • Raio de ponta da ferramenta: r=1,5\\ \mathrm{mm}.
  • Avanço por rotação: f=0,22\\ \mathrm{mm/rot}.
  • Velocidade de corte: v=1,8\\ \mathrm{m/s}.
    Pergunta: calcular a rugosidade de superfície estimada para esse corte (valor numérico da rugosidade).

Passo 2

Entendendo de onde vem a rugosidade: quando se faz um torneamento com avanço f e a ponta da ferramenta tem raio r, o perfil da peça fica formado por pequenos “cúspides” entre duas posições consecutivas da aresta. A altura geométrica desses cúspides (pico a vale) pode ser obtida pela geometria do círculo que descreve a ponta da ferramenta. Chamando essa altura de h, a expressão exata geométrica é
h = r - \sqrt{\,r^{2} - \left(\frac{f}{2}\right)^{2}\,}.
Explicação breve do que cada símbolo significa:
  • r é o raio da ponta da ferramenta (distância do centro do arco até a superfície teórica).
  • f é o avanço por rotação (distância entre duas trilhas consecutivas).
  • h é a altura do cúspide (diferença entre o ponto mais alto e o mais baixo do perfil gerado).

Passo 3

A expressão acima é exata, mas podemos simplificá-la quando f é muito menor que r (caso comum). Fazendo a manipulação algébrica e a aproximação por desenvolvimento em série:
\sqrt{r^{2}-\left(\frac{f}{2}\right)^{2}} = r\sqrt{1-\left(\frac{f}{2r}\right)^{2}} \approx r\left(1-\frac{1}{2}\left(\frac{f}{2r}\right)^{2}\right) = r - \frac{f^{2}}{8r}.
Substituindo em h obtemos a aproximação simples e muito usada:
h \approx \frac{f^{2}}{8r}.
Aqui usei a expansão \sqrt{1-x}\approx1-\tfrac{x}{2} válida para |x|\ll1.

Passo 4

Agora relacionar h com a rugosidade aritmética média R_{a}. Para o perfil idealizado de cúspides produzido pelo torneamento, uma aproximação prática e comumente adotada em provas e textos é:
R_{a}\approx\frac{h}{4}.
Justificativa curta e intuitiva: para formas periódicas simples (triangular ou quase circular), o valor médio absoluto da altura fica na ordem de um quarto da altura pico-a-vale. Combinando com a fórmula de h obtemos a expressão prática utilizada em cálculo de rugosidade em torneamento:
R_{a}\approx\frac{f^{2}}{32\,r}.
Observação útil para a prova: a velocidade de corte v não entra nessa expressão teórica de rugosidade geométrica — v influencia outros fatores práticos (vibração, acabamento térmico, desgaste), mas a estimativa geométrica usa apenas f e r.

Passo 5

Aplicando a fórmula com os números dados (faça essas contas passo a passo na prova):
  • Calcular f^{2}:
f^{2} = (0,22)^{2} = 0,0484\\ \mathrm{mm^{2}}.
  • Calcular 32\,r:
32\,r = 32\times1,5 = 48\\ \mathrm{mm}.
  • Dividir para obter R_{a}:
R_{a}\approx\frac{0,0484}{48}=0,0010083\\ \mathrm{mm}.
Arredondando de forma apropriada para dois algarismos significativos:
R_{a}\approx0,00101\\ \mathrm{mm}.
Converter para micrômetros ( 1\\ \mathrm{mm}=1000\\ \mu\mathrm{m}):
R_{a}\approx1,01\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 6

Comentário final (útil para a prova): use sempre a fórmula \displaystyle R_{a}\approx\frac{f^{2}}{32r} quando for pedido “rugosidade estimada” em torneamento com raio de ponta dado. Lembre-se de verificar a validade (isto é, f\ll r); na prática, rugosidade real pode ser maior por vibração, desgaste da ferramenta, condições de corte, etc. Mas para uma estimativa geométrica rápida em exame, essa é a resposta certa.

Resposta

R_{a}\approx0,00101\\ \mathrm{mm}
R_{a}\approx1,01\\ \mu\mathrm{m}