16.15 Uma ferramenta de aço rápido com 3/64 in de raio da ponta é usada em uma operação de aplainamento em uma peça de aço dúctil. A velocidade de corte é 120 \mathrm{ft} / \mathrm{min}. O avanço é 0,014 \mathrm{in} / passe, e a profundidade de corte é 0,135 in. Determine a rugosidade de superfície dessa operação.

Passo 1

O enunciado fornece (peguei estes números do enunciado):
  • raio da ponta da ferramenta: r=\dfrac{3}{64}\\ \text{in}.
  • velocidade de corte: 120\\ \text{ft/min}.
  • avanço: f=0,014\\ \text{in/passe}.
  • profundidade de corte: 0,135\\ \text{in}.
Pergunta que devo responder:
  • Determinar a rugosidade de superfície resultante dessa operação (ou seja, um valor típico de rugosidade superficial produzido pelo avanço e pelo raio da ponta).
Observação: a velocidade de corte e a profundidade de corte foram dadas, mas a rugosidade geométrica teórica causada pela geometria do entalhe entre passadas depende primariamente do avanço f e do raio da ponta r. Vou usar os dados acima sem pedir nada mais.

Passo 2

Entendendo a origem da rugosidade (ideia geométrica, passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Quando uma ferramenta de ponta arredondada corta uma superfície plana com avanço f entre passadas, a superfície resultante não fica perfeitamente plana: aparecem “seixos” (scallops) entre os pontos de contato, cujo máximo desvio pico-a-valeta chamamos de h.
  • Geometricamente, considerando a seção transversal, o contorno entre dois pontos consecutivos de contato é um arco de círculo de raio r cujo vão (corda) tem comprimento f. O máximo desvio da superfície em relação à linha ideal (plano desejado) corresponde à flecha (sagitta) do arco, dada exatamente por
h = r - \sqrt{r^{2} - \left(\dfrac{f}{2}\right)^{2}}.
  • Para avanços pequenos em relação ao raio ( f \ll r), pode-se usar a aproximação por desenvolvimento em série (binomial). Tomando a=\left(\dfrac{f}{2}\right)^{2} e expandindo \sqrt{r^{2}-a}=r\sqrt{1-\dfrac{a}{r^{2}}}, obtemos, ao primeiro termo não nulo,
h \approx \dfrac{a}{2r} = \dfrac{(f/2)^{2}}{2r} = \dfrac{f^{2}}{8r}.
Essa é a fórmula prática largamente usada para o pico-a-valeta teórico produzido pelo avanço.

Passo 3

Ligando h a uma medida de rugosidade prática (explicando a aproximação usada).
  • A rugosidade média aritmética R_a (valor frequentemente exigido) está relacionada ao perfil do entalhe. Para o perfil arredondado que aparece aqui, uma regra de bolso usada na usinagem é
R_a \approx \dfrac{h}{4}.
  • Intuição por trás dessa regra (sem matemática pesada): h é o total pico-a-valeta; a média aritmética das alturas absolutas do entalhe (que é o que R_a mede) é menor que h e, para arcos pequenos, fica em torno de um quarto do h. Assim, combinando com a aproximação anterior obtemos a fórmula prática muito utilizada
R_a \approx \dfrac{f^{2}}{32\,r}.

Passo 4

Converter os dados para números e calcular h (verificação com a fórmula aproximada).
  • Converter o raio para decimal:
r=\dfrac{3}{64}=0,046875\\ \text{in}.
  • Avanço (já dado): \,f=0,014\\ \text{in}.
  • Usando a fórmula aproximada para h:
h \approx \dfrac{f^{2}}{8r}=\dfrac{(0,014)^{2}}{8\cdot 0,046875}.
Calcule passo a passo:
(0,014)^{2}=0,000196, \qquad 8r=8\cdot0,046875=0,375,
h \approx \dfrac{0,000196}{0,375}=0,000522666\ldots\\ \text{in}.
(Como checagem, a expressão exata h = r-\sqrt{r^{2}-(f/2)^{2}} fornece um valor muito próximo; a diferença é pequena porque f é pequeno em relação a r.)

Passo 5

Calcular R_a a partir de h e apresentar em unidades usuais.
  • Usando R_a\approx h/4:
R_a \approx \dfrac{0,000522667}{4}=0,0001306667\\ \text{in}.
  • Expressões alternativas úteis:
    • em micropolegadas ( \mu\text{in}): multiplicar por 10^{6}:
    R_a \approx 130,7\\ \mu\text{in}.
    • em micrômetros ( \mu\text{m}): 1\\ \text{in}=25,4\\ \text{mm}=25{,}400\\ \mu\text{m}, então
    R_a \approx 0,0001306667\cdot25{,}4\cdot10^{3}\\ \mu\text{m}\approx 3,32\\ \mu\text{m}.

Passo 6

Comentários finais, interpretação e incentivo.
  • Observação prática: a velocidade de corte e a profundidade de corte têm influência sobre trabalho da aresta (temperatura, desgaste, vibração), o que pode aumentar a rugosidade real medida; porém, a estimativa geométrica teórica que calculamos é baseada somente na geometria do entalhe gerado pelo avanço e raio da ponta. Em prova, se pedirem rugosidade teórica use as fórmulas que apresentei.
  • Parabéns por encarar o problema — apesar do pânico, com a fórmula certa fica direto. Se quiser, eu mostro também o cálculo usando a fórmula exata h=r-\sqrt{r^{2}-(f/2)^{2}} para comparar os valores.

Resposta

R_a \approx 0,0001307\\ \text{in}
R_a \approx 130,7\\ \mu\text{in}
R_a \approx 3,32\\ \mu\text{m}