9.181E A diffuser is a steady-state, steady-flow device in which a fluid flowing at high velocity is decelerated such that the pressure increases in the process. Air at 18 \mathrm{lbf} / \mathrm{in} .^{2}, 90 \mathrm{~F} enters a diffuser with a velocity of 600 \mathrm{ft} / \mathrm{s} and exits with a velocity of 60 \mathrm{ft} / \mathrm{s}. Assuming the process is reversible and adiabatic, what are the exit pressure and temperature of the air?

Passo 1

Entender claramente o que o enunciado pede e quais dados nos deu. Pergunta: “Assumindo processo reversível e adiabático, quais são a pressão de saída e a temperatura de saída do ar?”\n
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado): \n
p_1 = 18\\ \mathrm{lbf/in^2} (pressão de entrada)\n
T_1 = 90^\circ\mathrm{F} (temperatura de entrada)\n
V_1 = 600\\ \mathrm{ft/s} (velocidade na entrada)\n
V_2 = 60\\ \mathrm{ft/s} (velocidade na saída)\n
Conduta: processo é reversível e adiabático. O que o enunciado pede: a pressão de saída p_2 e a temperatura de saída T_2.\n
Observação importante (informação que uso como hipótese): vou assumir que a pressão dada p_1 é absoluta. Se fosse pressão manométrica seria necessário somar a pressão atmosférica; como o enunciado não diz, assumo absoluta.

Passo 2

Escolher o método adequado e justificar (sem entrar em detalhes da teoria ainda):\n
  • Processo reversível e adiabático para um gás ideal significa processo isentrópico (a entropia é constante). Com isso podemos usar as relações isentrópicas entre temperatura e pressão para gás ideal. \n
  • Além disso, o dispositivo é steady-flow (regime estacionário) e adiabático: aplicamos a equação de energia em regime permanente para fluxo (equação de conservação de energia entre seções 1 e 2). Aqui a variação de energia interna/entalpia é ligada às diferenças de energia cinética. \n
    Vou então: (1) usar a equação de energia steady-flow para obter T_2 a partir de T_1, V_1 e V_2; (2) usar a relação isentrópica para obter p_2 a partir de p_1 e das temperaturas T_1,T_2.

Passo 3

Explicar e aplicar a equação de energia steady-flow para o caso (aula curta):\n
Para um escoamento estacionário, adiabático e sem trabalho de eixos, desprezando variação de energia potencial, a forma útil da 1ª lei é
h_1 + \frac{V_1^2}{2 g_c} = h_2 + \frac{V_2^2}{2 g_c},
onde h é entalpia específica (energia por unidade de massa), V é velocidade, e g_c é o fator de conversão entre unidades \left(g_c=32{,}174\\ \dfrac{\mathrm{lbm\cdot ft}}{\mathrm{lbf\cdot s^2}}\right). \n
Para um gás ideal com calor específico constante, a entalpia específica é
h = c_p T,
onde c_p é o calor específico a pressão constante (por unidade de massa) e T é a temperatura absoluta (em Rankine, ^{\circ}\mathrm{R}). \n
Substituindo,
c_p T_1 + \frac{V_1^2}{2 g_c} = c_p T_2 + \frac{V_2^2}{2 g_c}.
Isolando T_2,
T_2 = T_1 + \frac{V_1^2 - V_2^2}{2 g_c\, c_p}.

Passo 4

Valores das constantes e conversões (explicando cada uma):\n
  • Converter T_1 de graus Fahrenheit para Rankine: T_1 = 90^\circ\mathrm{F} + 459{,}67 = 549{,}67\\ \mathrm{R}.
Explicação: temperatura absoluta em ^{\circ}\mathrm{R} é T(^\circ\mathrm{R}) = T(^\circ\mathrm{F}) + 459{,}67. \n
  • Valor típico do calor específico a pressão constante para o ar (assumindo ar ideal e propriedades médias): c_p = 0{,}24\\ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{lbm\cdot R}}.
Para usar unidades coerentes com velocidades em \mathrm{ft/s} e energia em \mathrm{ft\cdot lbf} converto c_p para \mathrm{ft\cdot lbf/(lbm\cdot R)} usando 1\\ \mathrm{Btu}=778{,}169\\ \mathrm{ft\cdot lbf}:
c_p = 0{,}24\times 778{,}169 = 186{,}76\\ \frac{\mathrm{ft\cdot lbf}}{\mathrm{lbm\cdot R}}.
  • Fator de conversão g_c: g_c = 32{,}174\\ \frac{\mathrm{lbm\cdot ft}}{\mathrm{lbf\cdot s^2}}.
Isso permite que \dfrac{V^2}{2 g_c} fique em unidades de \mathrm{ft\cdot lbf/lbm}, compatível com h=c_p T.

Passo 5

Calcular T_2 numericamente passo a passo (mostrando as contas):\n
Calcular V_1^2 - V_2^2:
V_1^2 - V_2^2 = (600)^2 - (60)^2 = 360000 - 3600 = 356400\\ \mathrm{ft^2/s^2}.
Calcular o denominador 2 g_c c_p:
2 g_c c_p = 2 \times 32{,}174 \times 186{,}76 \approx 12017{,}63.
Agora a diferença de temperatura:
\Delta T = \frac{V_1^2 - V_2^2}{2 g_c c_p} = \frac{356400}{12017{,}63} \approx 29{,}67\\ \mathrm{R}.
Logo
T_2 = T_1 + \Delta T = 549{,}67 + 29{,}67 = 579{,}34\\ \mathrm{R}.
Converter para graus Fahrenheit para ficar mais familiar:
T_2(^\circ\mathrm{F}) = T_2(\mathrm{R}) - 459{,}67 = 579{,}34 - 459{,}67 = 119{,}67^\circ\mathrm{F}.
Arredondando com razoável precisão: T_2 \approx 579{,}3\\ \mathrm{R} ou T_2 \approx 119{,}7^\circ\mathrm{F}.

Passo 6

Explicar e aplicar a relação isentrópica para obter p_2 (aula curta):\n
Para um gás ideal em processo isentrópico (adiabático reversível) vale a relação
\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}},
onde \gamma é a razão dos calores específicos \gamma = \dfrac{c_p}{c_v}. Para o ar, valor padrão é \gamma = 1{,}4. \n
Isolando p_2,
\frac{p_2}{p_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}.

Passo 7

Calcular p_2 numericamente:\n
Calcular a razão de temperaturas:
\frac{T_2}{T_1} = \frac{579{,}34}{549{,}67} \approx 1{,}0540.
Exponencial: \dfrac{\gamma}{\gamma-1} = \dfrac{1{,}4}{0{,}4} = 3{,}5. Então
\frac{p_2}{p_1} = (1{,}0540)^{3{,}5}.
Calculemos (usando logaritmo mental aproximado explicado): \ln(1{,}0540)\approx 0{,}0526, multiplicando por 3{,}5 \approx 0{,}1841, então \exp(0{,}1841)\approx 1{,}2024. Portanto
p_2 \approx 1{,}2024\,p_1 = 1{,}2024 \times 18\\ \mathrm{lbf/in^2} \approx 21{,}64\\ \mathrm{lbf/in^2}.
Arredondando razoavelmente: p_2 \approx 21{,}6\\ \mathrm{lbf/in^2}.

Passo 8

Verificação rápida de coerência e comentário final (ânimo):\n
Faz sentido físico: a energia cinética foi drasticamente reduzida (de 600 para 60\\ \mathrm{ft/s}), parte dessa energia cinética se converte em energia interna da massa de ar, aumentando sua temperatura e, por isentropia, também sua pressão. O aumento de temperatura de cerca de 30^\circ\mathrm{R} (≈ 30^\circ\mathrm{F}) e o aumento de pressão em ~20% são compatíveis com essa explicação.\n
Tá indo bem — a ideia principal para usar numa prova: 1) energia steady-flow para relacionar temperaturas quando velocidades mudam; 2) relações isentrópicas para relacionar pressões e temperaturas quando o processo é reversível e adiabático.

Resposta

p_2 \approx 21{,}6\\ \mathrm{lbf/in^2}\n
T_2 \approx 579{,}3\\ \mathrm{R} = 119{,}7^\circ\mathrm{F}

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