7.18 As fibras de um elemento de madeira formam um ângulo de 15^{\circ} com a vertical. Para o estado de tensão mostrado, determine ( a ) a tensão de cisalhamento no plano paralelo às fibras e ( b ) a tensão normal perpendicular às fibras.

Passo 1

O enunciado (peguei os dados da imagem) apresenta um elemento quadrado submetido a tensões normais atuando nas faces: uma tensão horizontal de 2{,}5\\ \text{MPa} (setas entrando pela direita e pela esquerda) e uma tensão vertical de 1{,}5\\ \text{MPa} (setas entrando pelo topo e pela base). As fibras do material fazem um ângulo de 15^\circ com a vertical. O enunciado pede:
(a) a tensão de cisalhamento no plano paralelo às fibras;
(b) a tensão normal perpendicular às fibras.
Informações relevantes extraídas da imagem:
\sigma_x = -2{,}5\\ \text{MPa}\quad(\text{compressão horizontal}),\qquad \sigma_y = -1{,}5\\ \text{MPa}\quad(\text{compressão vertical}),ãã
\tau_{xy}=0\quad(\text{não há cisalhamento aplicado no sistema de eixos mostrado}).ãá
Obs.: adotei a convenção usual em resistência dos materiais: tensão positiva para tração, negativa para compressão.

Passo 2

Defino o sistema de coordenadas: eixo x horizontal para a direita e eixo y vertical para cima. Vou usar as fórmulas de transformação de tensões para um plano cuja orientação no corpo é dada pelo ângulo \theta medido entre o plano (a face do plano, isto é, a direção tangente ao plano) e o eixo x. Importante: quando digo “plano paralelo às fibras” tomo \theta igual à direção das fibras; quando digo “plano perpendicular às fibras” tomo \theta igual à direção do plano que é ortogonal às fibras (ou seja, \theta= direção das fibras +90^\circ).

Passo 3

Apresento as fórmulas de transformação (vou explicar cada termo):
\sigma_n(\theta)=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos(2\theta)+\tau_{xy}\sin(2\theta),
\tau_{n}(\theta)=-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin(2\theta)+\tau_{xy}\cos(2\theta).
Explicação das variáveis:
  • \sigma_n(\theta) é a tensão normal no plano cuja orientação (tangente) faz ângulo \theta com o eixo x.
  • \tau_{n}(\theta) é a componente de cisalhamento (tensão tangencial) nesse mesmo plano.
  • \sigma_x,\sigma_y são as tensões normais nas faces com normais em x e y.
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento no sistema xy (aqui é zero).
    Essas fórmulas vêm da decomposição da tração num plano em componentes normal e tangencial e da identidade trigonométrica que aparece ao girar o sistema.

Passo 4

Determino a direção das fibras medida a partir do eixo x. A imagem diz que as fibras fazem 15^\circ com a vertical. Como a vertical é 90^\circ medida a partir do eixo x, a direção das fibras em relação ao eixo x é
\phi_f=90^\circ-15^\circ=75^\circ.
Logo:
  • plano paralelo às fibras: \theta=75^\circ;
  • plano perpendicular às fibras: \theta=75^\circ+90^\circ=165^\circ.

Passo 5

Calculo os termos auxiliares que aparecem nas fórmulas:
\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}=\frac{-2{,}5+(-1{,}5)}{2}=\frac{-4{,}0}{2}=-2{,}0\\ \text{MPa},
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{-2{,}5-(-1{,}5)}{2}=\frac{-1{,}0}{2}=-0{,}5\\ \text{MPa},
e \tau_{xy}=0.

Passo 6

Usamos \theta=75^\circ na fórmula do cisalhamento:
primeiro calculemos as razões trigonométricas para 2\theta=150^\circ:
\cos(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin(150^\circ)=\tfrac{1}{2}.
Agora a fórmula de \tau_n:
\tau_n(75^\circ)=-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin(150^\circ)+\tau_{xy}\cos(150^\circ).
Substituindo os valores:
\tau_n(75^\circ)=-(-0{,}5)\cdot\frac{1}{2}+0\cdot\Big(-\frac{\sqrt{3}}{2}\Big) =0{,}5\cdot\frac{1}{2}=0{,}25\\ \text{MPa}.
Interpretação: o valor positivo indica sentido segundo a convenção adotada; o importante para a prova é o módulo 0{,}25\\ \text{MPa}.

Passo 7

Aqui queremos a tensão normal no plano perpendicular às fibras, então usamos \theta=165^\circ. Para 2\theta=330^\circ temos:
\cos(330^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin(330^\circ)=-\tfrac{1}{2}.
Usamos a fórmula de \sigma_n:
\sigma_n(165^\circ)=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos(330^\circ)+\tau_{xy}\sin(330^\circ).
Substituindo:
\sigma_n(165^\circ)=-2{,}0+(-0{,}5)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+0\cdot\Big(-\tfrac{1}{2}\Big) =-2{,}0-\frac{\sqrt{3}}{4}.
Valor numérico (usando \frac{\sqrt{3}}{4}\approx0{,}4330127):
\sigma_n(165^\circ)\approx -2{,}0-0{,}4330127=-2{,}433\\ \text{MPa}.
Sinal negativo indica compressão perpendicular às fibras.

Resposta

(a) \tau_{\text{plano paralelo às fibras}}=0{,}25\\ \text{MPa}à
(b) \sigma_{\text{normal perpendicular às fibras}}=-2{,}433\\ \text{MPa}à

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