7.18 As fibras de um elemento de madeira formam um ângulo de
com a vertical. Para o estado de tensão mostrado, determine (
)
tensão de cisalhamento no plano paralelo às fibras e (
) a tensão normal perpendicular às fibras.
Passo 1
O enunciado (peguei os dados da imagem) apresenta um elemento quadrado submetido a tensões normais atuando nas faces: uma tensão horizontal de
(setas entrando pela direita e pela esquerda) e uma tensão vertical de
(setas entrando pelo topo e pela base). As fibras do material fazem um ângulo de
com a vertical. O enunciado pede:
(a) a tensão de cisalhamento no plano paralelo às fibras;
(b) a tensão normal perpendicular às fibras.
(a) a tensão de cisalhamento no plano paralelo às fibras;
(b) a tensão normal perpendicular às fibras.
Informações relevantes extraídas da imagem:
Obs.: adotei a convenção usual em resistência dos materiais: tensão positiva para tração, negativa para compressão.
Passo 2
Defino o sistema de coordenadas: eixo
horizontal para a direita e eixo
vertical para cima. Vou usar as fórmulas de transformação de tensões para um plano cuja orientação no corpo é dada pelo ângulo
medido entre o plano (a face do plano, isto é, a direção tangente ao plano) e o eixo
. Importante: quando digo “plano paralelo às fibras” tomo
igual à direção das fibras; quando digo “plano perpendicular às fibras” tomo
igual à direção do plano que é ortogonal às fibras (ou seja,
direção das fibras
).
Passo 3
Apresento as fórmulas de transformação (vou explicar cada termo):
Explicação das variáveis:
-
é a tensão normal no plano cuja orientação (tangente) faz ângulo com o eixo . -
é a componente de cisalhamento (tensão tangencial) nesse mesmo plano. -
são as tensões normais nas faces com normais em e . -
é a tensão de cisalhamento no sistema (aqui é zero).
Essas fórmulas vêm da decomposição da tração num plano em componentes normal e tangencial e da identidade trigonométrica que aparece ao girar o sistema.
Passo 4
Determino a direção das fibras medida a partir do eixo
. A imagem diz que as fibras fazem
com a vertical. Como a vertical é
medida a partir do eixo
, a direção das fibras em relação ao eixo
é
Logo:
- plano paralelo às fibras:
; - plano perpendicular às fibras:
.
Passo 5
Calculo os termos auxiliares que aparecem nas fórmulas:
e
.
Passo 6
Usamos
na fórmula do cisalhamento:
primeiro calculemos as razões trigonométricas para :
primeiro calculemos as razões trigonométricas para
Agora a fórmula de
:
Substituindo os valores:
Interpretação: o valor positivo indica sentido segundo a convenção adotada; o importante para a prova é o módulo
.
Passo 7
Aqui queremos a tensão normal no plano perpendicular às fibras, então usamos
. Para
temos:
Usamos a fórmula de
:
Substituindo:
Valor numérico (usando
):
Sinal negativo indica compressão perpendicular às fibras.
Resposta
(a)
(b)