R. 63 Certa máquina térmica ideal funciona realizando o ciclo de Carnot. Em cada ciclo o trabalho útil fornecido pela máquina é de 1.000 J . Sendo as temperaturas das fontes térmicas 127^{\circ} \mathrm{C} e 27^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente, determine:
a) o rendimento da máquina referida;
b) a quantidade de calor retirada da fonte quente;
c) a quantidade de calor rejeitada para a fonte fria.

Passo 1

O enunciado nos dá as informações e pede três coisas. Informações fornecidas:
  • A máquina é ideal e realiza um ciclo de Carnot.
  • Trabalho útil por ciclo: 1000\\ \mathrm{J}.
  • Temperatura da fonte quente: 127^\circ \mathrm{C}.
  • Temperatura da fonte fria: 27^\circ \mathrm{C}.
Perguntas pedidas:
a) Determinar o rendimento da máquina.
b) Determinar a quantidade de calor retirada da fonte quente (calor recebido por ciclo).
c) Determinar a quantidade de calor rejeitada para a fonte fria (calor liberado por ciclo).

Passo 2

Entendendo a fórmula que usamos: para uma máquina de Carnot o rendimento \eta depende só das temperaturas absolutas das fontes. A fórmula é
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h},
onde:
  • T_h é a temperatura da fonte quente em kelvin ( \mathrm{K}),
  • T_c é a temperatura da fonte fria em kelvin ( \mathrm{K}),
  • \eta é a fração do calor absorvido que vira trabalho (valor adimensional entre 0 e 1).
Também vamos usar a relação entre rendimento, trabalho e calor absorvido:
\eta = \frac{W}{Q_h},
onde:
  • W é o trabalho útil por ciclo (aqui 1000\\ \mathrm{J}),
  • Q_h é a quantidade de calor retirada da fonte quente por ciclo (o que pedem na letra b).
Explicação sobre temperaturas: as fórmulas termodinâmicas usam temperatura absoluta (kelvin). Para converter graus Celsius para kelvin usamos
T(\mathrm{K}) = t(^{\circ}\mathrm{C}) + 273.
(Usamos 273 como aproximação de 273{,}15; aqui isso deixa números inteiros.)

Passo 3

Converter as temperaturas dadas para kelvin:
T_h = 127^\circ \mathrm{C} + 273 = 400\\ \mathrm{K},
T_c = 27^\circ \mathrm{C} + 273 = 300\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular o rendimento da máquina usando a fórmula de Carnot:
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h} = 1 - \frac{300}{400}.
Calcule passo a passo:
\frac{300}{400} = 0{,}75,
então
\eta = 1 - 0{,}75 = 0{,}25.
Interpretando: \eta = 0{,}25 significa que 25\% do calor absorvido vira trabalho útil.

Passo 5

Agora usamos \eta = \dfrac{W}{Q_h} para achar Q_h. Isolando Q_h:
Q_h = \frac{W}{\eta}.
Substituindo W = 1000\\ \mathrm{J} e \eta = 0{,}25:
Q_h = \frac{1000}{0{,}25} = 4000\\ \mathrm{J}.
Interpretação: a máquina precisa retirar 4000\\ \mathrm{J} da fonte quente para, após perder 3000\\ \mathrm{J} para a fria, entregar 1000\\ \mathrm{J} de trabalho.

Passo 6

Calcular o calor rejeitado para a fonte fria Q_c. Podemos usar a conservação de energia para um ciclo:
Q_h = W + Q_c \quad\Rightarrow\quad Q_c = Q_h - W.
Substituindo os valores:
Q_c = 4000\\ \mathrm{J} - 1000\\ \mathrm{J} = 3000\\ \mathrm{J}.
Verificação alternativa (consistência com Carnot): para Carnot também vale \dfrac{Q_c}{Q_h} = \dfrac{T_c}{T_h}. Calculando,
\frac{Q_c}{4000} = \frac{300}{400} = 0{,}75 \quad\Rightarrow\quad Q_c = 0{,}75\times 4000 = 3000\\ \mathrm{J},
confirmação OK.

Passo 7

Recapitulando de forma prática para a prova:
  • Converter temperaturas para kelvin primeiro.
  • Usar \eta = 1 - T_c/T_h para rendimento de Carnot.
  • Usar \eta = W/Q_h para achar Q_h.
  • Usar conservação de energia Q_h = W + Q_c para achar Q_c.
    Você já tem os valores numéricos e pode fazer essas contas de cabeça rápido: 127^\circ\mathrm{C}\to400\\ \mathrm{K}, 27^\circ\mathrm{C}\to300\\ \mathrm{K}, \eta=25\%, Q_h=4000\\ \mathrm{J}, Q_c=3000\\ \mathrm{J}. Vai dar certo — força aí!

Resposta

a) \eta = 0{,}25 = 25\%
b) Q_h = 4000\\ \mathrm{J}
c) Q_c = 3000\\ \mathrm{J}

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