(1pt.) Em um ciclo, uma máquina térmica absorve 500 J de um reservatório de alta temperatura e expele 300 J para um reservatório de baixa temperatura. Se a eficiência dessa máquina for 60 \% de uma máquina de Carnot, qual é a razão entre a temperatura baixa e a alta temperatura na máquina de Carnot?

Passo 1

O enunciado trata de uma máquina térmica que em um ciclo absorve Q_h=500\:\mathrm{J} de um reservatório quente e rejeita Q_c=300\:\mathrm{J} em um reservatório frio. Sabemos que a eficiência real \eta dessa máquina vale 60\% da eficiência de uma máquina de Carnot \eta_C. O objetivo é encontrar a razão \dfrac{T_c}{T_h} da máquina de Carnot, sabendo que
\eta = 0{,}6\,\eta_C
e que, para Carnot,
\eta_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}.

Passo 2

Calcular a eficiência real \eta da máquina usando a definição
\eta = \frac{W}{Q_h},
onde o trabalho W é
W = Q_h - Q_c = 500 - 300 = 200\:\mathrm{J}.
Logo,
\eta = \frac{200}{500} = 0{,}4\quad(40\%).

Passo 3

Como \eta = 0{,}6\,\eta_C, isolamos \eta_C:
\eta_C = \frac{\eta}{0{,}6} = \frac{0{,}4}{0{,}6} = \frac{2}{3}\approx0{,}6667.

Passo 4

Para uma máquina de Carnot vale
\eta_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Substituindo \eta_C=2/3 e resolvendo para \dfrac{T_c}{T_h}, temos
1 - \frac{T_c}{T_h} = \frac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{T_c}{T_h} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.

Resposta

A razão entre a temperatura baixa e a alta é
\frac{T_c}{T_h} = \frac{1}{3}.

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