5.20 No centro de uma esfera dielétrica oca
é colocada uma carga pontual
. Se a esfera tem um raio interno
e um raio externo
, calcule
e
.
Passo 1
O enunciado dá que no centro de uma cavidade esférica (um orifício) existe uma carga pontual
. A cavidade tem raio interno
e a camada dielétrica externa tem raio externo
. O dielétrico é linear, isotrópico e homogêneo com permissividade
.
O que se pede: calcular os campos ,
e
em função da distância radial
ao centro (ou seja, para as regiões
,
e
).
Informações relevantes fornecidas:
(carga pontual no centro); os raios
(interno) e
(externo); a permissividade do dielétrico
. Não há outras cargas livres além de
.
O que se pede: calcular os campos
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicando devagar): a lei de Gauss para o deslocamento elétrico diz que a divergência de
está ligada apenas às cargas livres. Em forma integral:
Aqui
é o vetor deslocamento (unidade
),
é o elemento de área vetorial da superfície fechada
, e
é a carga livre total dentro de
. Essa é uma lei muito conveniente porque o dielétrico só aparece nos efeitos ligados a
e
, enquanto
“sente” apenas as cargas livres.
Passo 3
Simetria e escolha da superfície de Gauss: a distribuição é esfericamente simétrica (carga pontual no centro), então faz sentido escolher uma esfera de raio
centrada na carga. Para uma esfera de raio
a integral de superfície simplifica porque
é radial e tem módulo constante na superfície. Assim:
onde
é o componente radial (módulo) de
na distância
, e
é a área da esfera.
Passo 4
Aplicando a lei de Gauss para
: a carga livre encerrada por qualquer superfície esférica de raio
que contém o centro é sempre
. Portanto
Escrevendo em forma vetorial (campo radial):
Observação didática: aqui não aparece
—
depende só das cargas livres. Esse resultado vale para qualquer
, inclusive dentro da cavidade, no dielétrico e fora da esfera.
Passo 5
Relação entre
,
e
: a identidade geral é
Para um dielétrico linear, isotrópico e homogêneo a relação material é
Também definimos a susceptibilidade
, de modo que
Essas fórmulas valem somente dentro do material dielétrico. Em regiões sem dielétrico (vácuo/cavidade) temos
e
.
Passo 6
Agora determinamos
em cada região usando
quando no dielétrico e
quando no vácuo.
Região 1:
(dentro da cavidade, vácuo).
Interpretação: dentro da cavidade o campo é exatamente o de uma carga pontual no vácuo.
Passo 7
Região 2:
(dentro do dielétrico).
Aqui , logo
Aqui
Comentário: o dielétrico reduz o módulo de
por um fator
em comparação ao vácuo.
Passo 8
Região 3:
(fora da esfera; meio externo assumido vácuo).
Voltamos a ter vácuo, então
Voltamos a ter vácuo, então
Observação: fora da esfera o campo é novamente o de uma carga pontual
no vácuo; as cargas ligadas no dielétrico não alteram a carga livre total vista de longe.
Passo 9
Cálculo de
. Fora do dielétrico (
e
) não há polarização:
Dentro do dielétrico (
) usamos
. Substituindo
de
:
Simplificação passo a passo: o fator
no numerador cancela com o
do denominador, sobrando
.
Passo 10
Resumo físico e verificação rápida:
segue somente da carga livre, por isso tem a forma de campo radial
em toda a região fora do ponto
.
é reduzido no dielétrico por
.
existe só dentro do dielétrico e também é radial decrescendo como
. Essas respostas são contínuas nas fronteiras conforme esperado para os componentes normais/tangenciais relevantes (exceto singularidade em
).
Resposta
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