5.20 No centro de uma esfera dielétrica oca \left(\varepsilon=\varepsilon_{0} \varepsilon_{r}\right) é colocada uma carga pontual Q. Se a esfera tem um raio interno a e um raio externo b, calcule \mathbf{D}, \mathbf{E} e \mathbf{P}.

Passo 1

O enunciado dá que no centro de uma cavidade esférica (um orifício) existe uma carga pontual \,Q. A cavidade tem raio interno \,a e a camada dielétrica externa tem raio externo \,b. O dielétrico é linear, isotrópico e homogêneo com permissividade \varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}.
O que se pede: calcular os campos \mathbf{D}, \mathbf{E} e \mathbf{P} em função da distância radial \,r ao centro (ou seja, para as regiões 0<r<a, a<r<b e r>b).
Informações relevantes fornecidas:
\,Q (carga pontual no centro); os raios \,a (interno) e \,b (externo); a permissividade do dielétrico \,\varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}. Não há outras cargas livres além de \,Q.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicando devagar): a lei de Gauss para o deslocamento elétrico diz que a divergência de \mathbf{D} está ligada apenas às cargas livres. Em forma integral:
\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{livre, encerrada}}.
Aqui \mathbf{D} é o vetor deslocamento (unidade \,\mathrm{C/m^2}), d\mathbf{A} é o elemento de área vetorial da superfície fechada S, e Q_{\text{livre, encerrada}} é a carga livre total dentro de S. Essa é uma lei muito conveniente porque o dielétrico só aparece nos efeitos ligados a \mathbf{E} e \mathbf{P}, enquanto \mathbf{D} “sente” apenas as cargas livres.

Passo 3

Simetria e escolha da superfície de Gauss: a distribuição é esfericamente simétrica (carga pontual no centro), então faz sentido escolher uma esfera de raio r centrada na carga. Para uma esfera de raio r>0 a integral de superfície simplifica porque \mathbf{D} é radial e tem módulo constante na superfície. Assim:
\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=D_r(r)\cdot 4\pi r^{2},
onde D_r(r) é o componente radial (módulo) de \mathbf{D} na distância r, e 4\pi r^{2} é a área da esfera.

Passo 4

Aplicando a lei de Gauss para \mathbf{D}: a carga livre encerrada por qualquer superfície esférica de raio r>0 que contém o centro é sempre \,Q. Portanto
D_r(r)\cdot 4\pi r^{2}=Q \quad\Rightarrow\quad D_r(r)=\dfrac{Q}{4\pi r^{2}}.
Escrevendo em forma vetorial (campo radial):
\mathbf{D}(r)=\dfrac{Q}{4\pi r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}},\qquad (r>0).
Observação didática: aqui não aparece \varepsilon \mathbf{D} depende só das cargas livres. Esse resultado vale para qualquer r>0, inclusive dentro da cavidade, no dielétrico e fora da esfera.

Passo 5

Relação entre \mathbf{D}, \mathbf{E} e \mathbf{P}: a identidade geral é
\mathbf{D}=\varepsilon_{0}\mathbf{E}+\mathbf{P}.
Para um dielétrico linear, isotrópico e homogêneo a relação material é
\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\mathbf{E}.
Também definimos a susceptibilidade \chi_{e}=\varepsilon_{r}-1, de modo que
\mathbf{P}=\varepsilon_{0}\chi_{e}\mathbf{E}=\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)\mathbf{E}.
Essas fórmulas valem somente dentro do material dielétrico. Em regiões sem dielétrico (vácuo/cavidade) temos \mathbf{P}=\mathbf{0} e \mathbf{D}=\varepsilon_{0}\mathbf{E}.

Passo 6

Agora determinamos \mathbf{E} em cada região usando \mathbf{E}=\mathbf{D}/\varepsilon quando no dielétrico e \mathbf{E}=\mathbf{D}/\varepsilon_{0} quando no vácuo.
Região 1: 0<r<a (dentro da cavidade, vácuo).
\mathbf{E}(r)=\dfrac{\mathbf{D}(r)}{\varepsilon_{0}}=\dfrac{1}{\varepsilon_{0}}\cdot\dfrac{Q}{4\pi r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}} =\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}.
Interpretação: dentro da cavidade o campo é exatamente o de uma carga pontual no vácuo.

Passo 7

Região 2: a<r<b (dentro do dielétrico).
Aqui \varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}, logo
\mathbf{E}(r)=\dfrac{\mathbf{D}(r)}{\varepsilon}=\dfrac{1}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}\cdot\dfrac{Q}{4\pi r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}} =\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\,r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}.
Comentário: o dielétrico reduz o módulo de \mathbf{E} por um fator \varepsilon_{r} em comparação ao vácuo.

Passo 8

Região 3: r>b (fora da esfera; meio externo assumido vácuo).
Voltamos a ter vácuo, então
\mathbf{E}(r)=\dfrac{\mathbf{D}(r)}{\varepsilon_{0}}=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}.
Observação: fora da esfera o campo é novamente o de uma carga pontual Q no vácuo; as cargas ligadas no dielétrico não alteram a carga livre total vista de longe.

Passo 9

Cálculo de \mathbf{P}. Fora do dielétrico ( r<a e r>b) não há polarização:
\mathbf{P}(r)=\mathbf{0}\qquad (r<a\\ \text{ou}\\ r>b).
Dentro do dielétrico ( a<r<b) usamos \mathbf{P}=\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)\mathbf{E}. Substituindo \mathbf{E} de a<r<b:
\mathbf{P}(r)=\varepsilon_{0}(\varepsilon_{r}-1)\cdot\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{r} r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}} =\dfrac{Q(\varepsilon_{r}-1)}{4\pi\varepsilon_{r}\,r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}.
Simplificação passo a passo: o fator \varepsilon_{0} no numerador cancela com o \varepsilon_{0} do denominador, sobrando (\varepsilon_{r}-1)/\varepsilon_{r}.

Passo 10

Resumo físico e verificação rápida: \mathbf{D} segue somente da carga livre, por isso tem a forma de campo radial \propto 1/r^{2} em toda a região fora do ponto r=0. \mathbf{E} é reduzido no dielétrico por \varepsilon_{r}. \mathbf{P} existe só dentro do dielétrico e também é radial decrescendo como 1/r^{2}. Essas respostas são contínuas nas fronteiras conforme esperado para os componentes normais/tangenciais relevantes (exceto singularidade em r=0).

Resposta

\displaystyle \mathbf{D}(r)=\dfrac{Q}{4\pi r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}\qquad (r>0)\)\n \(\displaystyle \mathbf{E}(r)=\begin{cases} \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}, & 0<r<a,\\[6pt] \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\,r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}, & a<r<b,\\[6pt] \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}, & r>b, \end{cases}\n
\displaystyle \mathbf{P}(r)=\begin{cases} \mathbf{0}, & 0<r<a,\\[6pt] \dfrac{Q(\varepsilon_{r}-1)}{4\pi\varepsilon_{r}\,r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}, & a<r<b,\\[6pt] \mathbf{0}, & r>b. \end{cases}]

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