20 kg de Isopropanol líquido ( \mathrm{MM}=60,1 ) passam por uma mudança de estado isobárica a 1 bar, mecanicamente reversível, durante a qual a temperatura varia de 15^{\circ} \mathrm{C} a 30^{\circ} \mathrm{C}. Determine \Delta V^{T}, W, Q, \Delta H^{T} e \Delta U^{T}.
São fornecidas as propriedades do Isopropanol liquido, a 1 bar e 20^{\circ} \mathrm{C} :
\beta=1,28 \cdot 10^{-2} \mathrm{~K}^{-1} \quad \kappa=16,85 \cdot 10^{-5} bar ^{-1} \quad C_{P}=1,54 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~mol} . \mathrm{K}} \quad \rho=785 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^{3}}
  • \beta, \kappa e C_{P} podem ser consideradas independentes da temperatura.

Passo 1

O enunciado pede que, para 20\\ \mathrm{kg} de isopropanol líquido que sofre uma mudança de estado isobárica a 1\\ \mathrm{bar}, mecanicamente reversível, com temperatura variando de 15^\circ\mathrm{C} a 30^\circ\mathrm{C}, se determine:
  • \Delta V^{T} (variação total de volume),
  • W (trabalho realizado pelo sistema),
  • Q (calor trocado),
  • \Delta H^{T} (variação de entalpia total),
  • \Delta U^{T} (variação de energia interna total).
As informações fornecidas (a usar tal como estão) são:
  • massa: m=20\\ \mathrm{kg};
  • massa molar: \mathrm{MM}=60,1\\ \mathrm{g/mol};
  • processo isobárico a P=1\\ \mathrm{bar} e mecanicamente reversível;
  • temperatura inicial T_1=15^\circ\mathrm{C} e final T_2=30^\circ\mathrm{C} (logo \Delta T=15\\ \mathrm{K});
  • propriedades dadas no líquido (avaliadas em 20^\circ\mathrm{C}, que serão usadas como aproximação constante):
    • coeficiente volumétrico de expansão: \beta=1,28\cdot10^{-2}\\ \mathrm{K^{-1}},
    • compressibilidade isotérmica: \kappa=16,85\cdot10^{-5}\\ \mathrm{bar^{-1}} (não será necessária aqui),
    • calor molar a pressão constante: C_P=1,54\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
    • densidade: \rho=785\\ \mathrm{kg/m^3}.
Observações importantes que vou usar sem perguntar nada: \beta e C_P podem ser tomados constantes no intervalo de temperatura e a densidade dada em 20^\circ\mathrm{C} será usada para estimar o volume inicial (a variação de 15\\ \mathrm{K} é pequena o suficiente para essa aproximação ser aceitável).

Passo 2

Calcular o número de mols n a partir da massa e da massa molar (conversão para \mathrm{kg/mol}).
Explicação/lembrando a fórmula: o número de mols é dado por n = \dfrac{m}{\mathrm{MM}}, onde m é a massa em \mathrm{kg} e \mathrm{MM} a massa molar em \mathrm{kg/mol}.
Converter \mathrm{MM}:
\mathrm{MM}=60,1\\ \mathrm{g/mol}=0,0601\\ \mathrm{kg/mol}.
Calcular n:
n=\frac{m}{\mathrm{MM}}=\frac{20}{0,0601}=332,78\\ \mathrm{mol}.
Comentário didático: saber o número de mols é necessário para usar Q=n C_P \Delta T, fórmula direta para calor em processo a pressão constante com calor molar conhecido.

Passo 3

Determinar o volume inicial V_1 e, em seguida, \Delta V^{T} usando o coeficiente de expansão volumétrica \beta.
Conceito usado: o coeficiente volumétrico de expansão \beta é definido por
\beta=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P.
Se \beta for aproximadamente constante no intervalo de temperatura, para uma pequena variação \Delta T vale a aproximação
\Delta V \approx V_1\,\beta\,\Delta T.
Calcular V_1 a partir da densidade \rho (massa volumétrica):
V_1=\frac{m}{\rho}=\frac{20}{785}=0,02548\\ \mathrm{m^3}.
(Usei a densidade fornecida em 20^\circ\mathrm{C} para estimar V_1.)
Agora calcular \Delta V^{T} com \Delta T=15\\ \mathrm{K}:
\Delta V^{T}=V_1\,\beta\,\Delta T =0,02548\cdot(1,28\cdot10^{-2})\cdot15=0,004888\\ \mathrm{m^3}.
Interpretação: o volume aumenta aproximadamente 0,004888\\ \mathrm{m^3} (cerca de 4,9 litros) devido ao aquecimento de 15\\ \mathrm{K}. Isso é um valor razoável para um líquido com \beta relativamente grande como o álcool isopropílico.

Passo 4

Calcular o trabalho W para um processo isobárico reversível.
Conceito/fórmula: para um processo a pressão constante (e reversível, então P_{\text{ext}}=P), o trabalho realizado pelo sistema é
W=\int_{V_1}^{V_2} P\,dV = P\,(V_2-V_1)=P\,\Delta V^{T}.
Aqui P precisa estar em \mathrm{Pa} se quisermos W em joules. Convertendo 1\\ \mathrm{bar}=10^5\\ \mathrm{Pa}.
Calcular:
P=1\\ \mathrm{bar}=10^5\\ \mathrm{Pa},
W=P\,\Delta V^{T}=10^5\cdot0,004888=488,8\\ \mathrm{J}.
Observação sobre sinal: adotei a convenção usual em termodinâmica de engenharia em que W é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho sobre o ambiente). Assim W=+488,8\\ \mathrm{J} significa que o sistema fez 488,8\\ \mathrm{J} de trabalho expandindo-se contra 1\\ \mathrm{bar}.

Passo 5

Calcular o calor Q trocado no processo isobárico.
Conceito/fórmula: para um processo de uma substância pura em um sistema fechado, se C_P (calor específico/mol a pressão constante) é constante, o calor trocado a pressão constante é
Q=n\,C_P\,\Delta T.
Usamos o número de mols calculado no Passo 2 e o C_P fornecido.
Calcular:
Q=n\,C_P\,\Delta T=332,78\cdot1,54\cdot15=7687,2\\ \mathrm{J}.
Comentário didático: esse é o calor que deve ser fornecido ao líquido para elevar sua temperatura de 15^\circ\mathrm{C} para 30^\circ\mathrm{C} a pressão constante, levando em conta o calor molar informado.

Passo 6

Calcular a variação de entalpia \Delta H^{T}.
Conceito/fórmula: para um sistema fechado, em um processo a pressão constante e com C_P constante, a variação de entalpia é diretamente
\Delta H=n\,C_P\,\Delta T.
Além disso, em processos isobáricos para sistemas fechados, o calor trocado Q_P é igual a \Delta H:
\Delta H = Q_P.
Logo, usando o valor de Q do Passo 5:
\Delta H^{T}=7687,2\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Calcular a variação da energia interna \Delta U^{T}.
Conceito/fórmula (primeira lei): para um sistema fechado, a primeira lei da termodinâmica é
\Delta U = Q - W,
onde Q é o calor recebido pelo sistema e W o trabalho realizado pelo sistema.
Aplicando os valores já calculados:
\Delta U^{T}=Q-W=7687,2-488,8=7198,4\\ \mathrm{J}.
Alternativa (consistência): também vale a relação geral \Delta H=\Delta U + \Delta(PV). Em sistema fechado a \Delta(PV)=P\Delta V=W, portanto \Delta U=\Delta H-P\Delta V, que dá o mesmo resultado numérico, confirmando consistência.

Passo 8

Resumo das aproximações e verificação de ordem de grandeza.
  • Usei a densidade em 20^\circ\mathrm{C} para estimar o volume inicial; como a variação de temperatura é curta e \beta constante, essa é uma aproximação padrão.
  • Desprezei a compressibilidade \kappa porque o processo é isobárico e a variação de pressão é nula; \kappa seria usada se quisesse relacionar variações de pressão a variações de volume numa compressão isotérmica, por exemplo.
  • As grandezas obtidas têm ordem de grandeza coerente: calor necessário (alguns kJ), trabalho realizado pequeno (algumas centenas de J) porque líquido tem pouca expansão volumétrica em termos absolutos.

Resposta

\Delta V^{T}=0,004888\\ \mathrm{m^{3}}
W=488,8\\ \mathrm{J}
Q=7687,2\\ \mathrm{J}
\Delta H^{T}=7687,2\\ \mathrm{J}
\Delta U^{T}=7198,4\\ \mathrm{J}

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