QUESTÃO 3: (8 pontos)
Calcule
e
usando a equação de Peng/Robinson para o acetileno a 300K e 40bar.
MM:
;
;
MM:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
- Dados:
- Massa molar:
(não é usada diretamente nas fórmulas abaixo). -
. -
. -
. - Estado pedido:
e .
- Massa molar:
- O que precisa ser calculado:
- O fator de compressibilidade
naquele estado. - A entalpia residual molar
(por mol) nesse estado. - A entropia residual molar
(por mol e por K) nesse estado.
- O fator de compressibilidade
Passo 2
Apresento a equação de Peng–Robinson e as fórmulas que vou usar, explicando cada símbolo.
- Constante dos gases (duas formas conforme unidade que for usar):
-
(útil para calcular e em L e bar). -
(útil para obter e em J/mol unidades finais).
-
- Parâmetros da PR:
Aqui com
- Coeficientes adimensionais usados na forma cúbica:
A equação cúbica em (forma padrão da PR) é - Fórmulas para propriedades residuais (expressões padrão para equações cúbicas tipo PR):
Observação:
depende de
através de
; portanto é necessário calcular
. Usarei a relação útil
que vem de
.
Passo 3
Calculo numérico de
,
,
,
,
e
(uso
para estes cálculos).
- Primeiro
: -
e : -
: -
- Agora
e : com e . Numericamente:
- Finalmente
:
Passo 4
Calculo de
e
(usando
).
-
: -
:
Passo 5
Formo a equação cúbica em
e resolvo numericamente (procuro a(s) raiz(es) reais; aqui busco a raiz física para a fase única existente na condição dada — a PR pode dar 1 ou 3 raízes reais; escolhe-se a raiz fisicamente consistente; no nosso caso há uma raiz real principal).
- Coeficientes numéricos:
com os números calculados resulta em - Resolvi essa cúbica por tentativa e bissecção (avaliando o polinômio em pontos) para localizar a raiz real. Algumas avaliações:
-
. -
.
Interpolando/afetando a bissecção obtém-se a raiz
Este é o fator de compressibilidade do acetileno àquelas condições (é menor que 1, indicando efeito atrativo predominante). -
Passo 6
Calculo do termo logarítmico que aparece nas fórmulas residuais:
- Compute os fatores
:
- Então
Passo 7
Calculo de
. Aqui explico a derivada de
e mostro o procedimento:
- Lembre que
e com . - Cálculo de
: Logo - Numericamente:
- Assim
Passo 8
Calculo de
usando a relação
.
- Primeiro
. -
. - Logo o parêntese vale
. - Multiplicando por
:
Passo 9
Calculo da entalpia residual
. Uso a fórmula:
- Valores numéricos:
-
. -
. -
. - Fator adicional
-
- Portanto
- Voltando a unidades de energia:
, .
Passo 10
Calculo da entropia residual
. Uso a fórmula:
- Valores numéricos:
-
. -
-
- Então termo adicional
-
- Assim
- Em unidades práticas: