E7.21 Um sistema com realimentação unitária possui uma função de transferência em malha
Esboce o lugar geométrico das raízes. Determine o ganho
quando as raízes complexas da equação característica possuem um
aproximadamente igual a 0,66 .
Passo 1
O enunciado dá a função de malha aberta
e pede duas coisas: (1) esboçar o lugar geométrico das raízes (root locus) para ganho
variando de
a
; (2) determinar o valor de
quando as raízes complexas da equação característica têm razão de amortecimento aproximadamente
.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A função de malha aberta tem um zero em
(porque o numerador é ). - Os polos de malha aberta são as raízes do polinômio
- A equação característica do sistema em malha fechada (realimentação unitária) é
O objetivo final numérico é encontrar
tal que um par complexo de raízes dessa equação característica tenha
.
Passo 2
Primeira coisa prática: localizar os polos de malha aberta (as raízes de
). Isso é útil para desenhar o root locus porque as três ramificações começam nesses polos quando
.
Como o polinômio não fatoriza óbvia e tem grau 3, eu procuro uma raiz real por tentativa e depois divido para achar o quadrático remanescente (procedimento padrão).
Avalio
em alguns pontos reais:
-
(positivo) -
(negativo)
Há mudança de sinal entre
e
, logo existe uma raiz real nesse intervalo. Faço uma aproximação por tentativa refinada (método da bisecção/tentativa rápida):
-
: -
: -
:
Portanto, uma raiz real é aproximadamente
Agora faço divisão sintética para obter o quadrático restante e achar as outras duas raízes (polos). Dividindo
por
obtenho o quociente aproximado
As raízes desse quadrático são
Resumo: os polos de malha aberta são aproximadamente
e existe um zero em
.
Observação: repare que dois polos de malha aberta estão com parte real positiva (pequena), então o sistema em malha aberta é instável; isso é aceitável — o root locus ainda é definido e o comportamento em malha fechada depende de
.
Passo 3
Agora eu explico as regras fundamentais do lugar das raízes (o que usar para esboçar) — pequena “aula” prática:
-
O root locus tem uma ramificação que parte de cada polo de malha aberta quando
. -
As ramificações terminam nos zeros finitos (se houver) ou vão para infinito segundo assimptotas se houver menos zeros que polos.
-
Número de assimptotas =
. -
Ângulos das assimptotas: para
assimptotas, os ângulos são Aqui, então os ângulos são e (ou simplesmente ). Ou seja, duas assimptotas verticais (para cima e para baixo). -
Centro das assimptotas (centroid) dado porSoma dos polos (coefs do polinômio): para
a soma dos polos é . Soma dos zeros é . Logo Portanto as duas assimptotas verticalizam no ponto com parte real. -
No eixo real, o root locus existe onde o número de polos+zeros à direita for ímpar. Com os polos aproximados, a única posição real de polo/zero na parte real é em
e (zero). Assimptoticamente uma ramificação sai de e outra dos polos complexos.
Com isso já dá para esboçar qualitativamente: uma ramificação sai do polo em
, outra e outra saem dos polos complexos
; existe um zero em
que atrai uma ramificação; as duas demais ramificações vão para infinito seguindo as assimptotas verticais a partir do centro
.
Passo 4
Regra rápida para identificar para onde cada ramo vai: como há apenas um zero finito (
), somente uma ramificação termina em
quando
. As outras duas ramificações vão para
seguindo as assimptotas
a partir de
.
Interpretação física/geométrica resumida (útil no exame): conforme
cresce, as raízes se movem ao longo das ramificações descritas; se você precisa saber se com certo
o sistema é estável, localize as raízes no semiplano esquerdo. Aqui, devido à presença de polos RHP em malha aberta, para alguns
pode haver estabilização das raízes complexas (passando para o LHP) — por isso pedem para achar
tal que o par complexo tenha
.
Passo 5
Agora a parte numérica e mecanicamente didática: encontrar
tal que um par complexo da equação característica
tenha amortecimento
.
Conceito: para um pólo complexo conjugado
, a razão de amortecimento é
Isto quer dizer que os pólos com um dado
ficam sobre linhas de constante
no plano
; geometricamente, a linha correspondente faz um ângulo
com o eixo negativo real. Assim, se eu representar o ponto do pólo como
, para o par com amortecimento
escolha
No nosso caso
, logo
e
Então os pólos desejados estão na direção
a partir da origem, em algum raio
(a escala
depende da frequência natural
).
Passo 6
Procedimento para encontrar
(e então
e
):
Usamos a condição de característica
. Para um candidato
que esteja no root locus existe um
real que satisfaz essa equação. Reescrevendo a equação para
dá
Para que
seja real (já que buscamos
), a parte imaginária do lado direito deve ser zero. Trabalhar com potências exponenciais é mais simples: escrevo
, então
Multiplicando numerador e denominador convenientemente e extraindo a condição imaginária resulta (desenvolvimento direto):
Fazendo as contas em forma polar isso leva à condição simples
(Explicação curta: ao desenvolver a parte imaginária de
e dividir por
obtém-se exactamente essa equação; é uma forma prática e muito usada para localizar pontos em retas de amortecimento.)
Agora substituo
. Como
, temos
. Portanto a equação fica
Passo 7
Substituo
e resolvo numericamente para
:
portanto a equação é
Faço tentativa numérica:
-
dá . -
dá valor ligeiramente negativo (cerca de ). - Refinando, encontro a raiz
Portanto o pólo desejado (o de parte imaginária positiva) é
Agora calcule as coordenadas
e
(parte real e imaginária):
Cheque rápido: a razão de amortecimento é
conforme desejado (pequeno erro de arredondamento).
Passo 8
Finalmente encontramos
. Podemos usar a expressão obtida antes (da separação em partes real/ímaginária ou a condição de magnitude). Uma fórmula prática obtida anteriormente (pela separação das partes imaginária e real) é
que vem da equação imaginária dividida por
e substituições — mas também podemos usar a forma direta
Usando os valores numéricos
e
:
-
, -
.
Então
Calculo detalhado:
-
, -
.
Somando:
Arredondando com precisão razoável, obtemos
Resposta
Root locus: três ramos partindo dos polos de malha aberta
e
; um zero em
; duas assimptotas (
) com centro em
.\n