E7.21 Um sistema com realimentação unitária possui uma função de transferência em malha
L(s)=G_{c}(s) G(s)=\frac{K s}{s^{3}+5 s^{2}+10}
Esboce o lugar geométrico das raízes. Determine o ganho K quando as raízes complexas da equação característica possuem um \zeta aproximadamente igual a 0,66 .

Passo 1

O enunciado dá a função de malha aberta
L(s)=G_c(s)G(s)=\frac{K s}{s^{3}+5 s^{2}+10}
e pede duas coisas: (1) esboçar o lugar geométrico das raízes (root locus) para ganho K variando de 0 a +\infty; (2) determinar o valor de K quando as raízes complexas da equação característica têm razão de amortecimento aproximadamente \zeta=0{,}66.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A função de malha aberta tem um zero em s=0 (porque o numerador é K s).
  • Os polos de malha aberta são as raízes do polinômio s^{3}+5s^{2}+10=0.
  • A equação característica do sistema em malha fechada (realimentação unitária) é 1+L(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad s^{3}+5s^{2}+K s+10=0.
O objetivo final numérico é encontrar K tal que um par complexo de raízes dessa equação característica tenha \zeta\approx 0{,}66.

Passo 2

Primeira coisa prática: localizar os polos de malha aberta (as raízes de s^{3}+5s^{2}+10). Isso é útil para desenhar o root locus porque as três ramificações começam nesses polos quando K\to 0.
Como o polinômio não fatoriza óbvia e tem grau 3, eu procuro uma raiz real por tentativa e depois divido para achar o quadrático remanescente (procedimento padrão).
Avalio f(s)=s^{3}+5s^{2}+10 em alguns pontos reais:
  • f(-5)=-125+125+10=10 (positivo)
  • f(-6)=-216+180+10=-26 (negativo)
Há mudança de sinal entre -5 e -6, logo existe uma raiz real nesse intervalo. Faço uma aproximação por tentativa refinada (método da bisecção/tentativa rápida):
  • s=-5{,}33: f(-5{,}33)\approx 0{,}665
  • s=-5{,}356: f(-5{,}356)\approx 0{,}03
  • s=-5{,}357: f(-5{,}357)\approx -0{,}03
Portanto, uma raiz real é aproximadamente
s_{1}\approx -5{,}356.
Agora faço divisão sintética para obter o quadrático restante e achar as outras duas raízes (polos). Dividindo s^{3}+5s^{2}+0s+10 por (s+5{,}356) obtenho o quociente aproximado
s^{2}-0{,}356\,s+1{,}906.
As raízes desse quadrático são
s_{2,3}\approx 0{,}178\pm j\,1{,}369.
Resumo: os polos de malha aberta são aproximadamente
s\approx -5{,}356,\quad s\approx 0{,}178\pm j\,1{,}369,
e existe um zero em s=0.
Observação: repare que dois polos de malha aberta estão com parte real positiva (pequena), então o sistema em malha aberta é instável; isso é aceitável — o root locus ainda é definido e o comportamento em malha fechada depende de K.

Passo 3

Agora eu explico as regras fundamentais do lugar das raízes (o que usar para esboçar) — pequena “aula” prática:
  • O root locus tem uma ramificação que parte de cada polo de malha aberta quando K\to 0^{+}.
  • As ramificações terminam nos zeros finitos (se houver) ou vão para infinito segundo assimptotas se houver menos zeros que polos.
  • Número de assimptotas = \text{\# polos} - \text{\# zeros}=3-1=2.
  • Ângulos das assimptotas: para q=p-z assimptotas, os ângulos são
    \theta_k=\frac{(2k+1)\pi}{q},\quad k=0,1,\dots,q-1.
    Aqui q=2, então os ângulos são \theta_0=\pi/2 e \theta_1=-\pi/2 (ou simplesmente \pm 90^\circ). Ou seja, duas assimptotas verticais (para cima e para baixo).
  • Centro das assimptotas (centroid) dado por
    \sigma_a=\frac{\sum \text{polos} - \sum \text{zeros}}{p-z}.
    Soma dos polos (coefs do polinômio): para s^3+5s^2+\cdots a soma dos polos é -5. Soma dos zeros é 0. Logo
    \sigma_a=\frac{-5-0}{2}=-2{,}5.
    Portanto as duas assimptotas verticalizam no ponto com parte real -2{,}5.
  • No eixo real, o root locus existe onde o número de polos+zeros à direita for ímpar. Com os polos aproximados, a única posição real de polo/zero na parte real é em -5{,}356 e 0 (zero). Assimptoticamente uma ramificação sai de -5{,}356 e outra dos polos complexos.
Com isso já dá para esboçar qualitativamente: uma ramificação sai do polo em -5{,}356, outra e outra saem dos polos complexos 0{,}178\pm j1{,}369; existe um zero em 0 que atrai uma ramificação; as duas demais ramificações vão para infinito seguindo as assimptotas verticais a partir do centro -2{,}5.

Passo 4

Regra rápida para identificar para onde cada ramo vai: como há apenas um zero finito ( s=0), somente uma ramificação termina em s=0 quando K\to\infty. As outras duas ramificações vão para \infty seguindo as assimptotas \pm 90^\circ a partir de \Re(s)=-2{,}5.
Interpretação física/geométrica resumida (útil no exame): conforme K cresce, as raízes se movem ao longo das ramificações descritas; se você precisa saber se com certo K o sistema é estável, localize as raízes no semiplano esquerdo. Aqui, devido à presença de polos RHP em malha aberta, para alguns K pode haver estabilização das raízes complexas (passando para o LHP) — por isso pedem para achar K tal que o par complexo tenha \zeta\approx 0{,}66.

Passo 5

Agora a parte numérica e mecanicamente didática: encontrar K tal que um par complexo da equação característica
s^{3}+5s^{2}+K s+10=0
tenha amortecimento \zeta=0{,}66.
Conceito: para um pólo complexo conjugado s=\sigma\pm j\omega, a razão de amortecimento é
\zeta=\frac{-\sigma}{\sqrt{\sigma^{2}+\omega^{2}}}.
Isto quer dizer que os pólos com um dado \zeta ficam sobre linhas de constante \zeta no plano s; geometricamente, a linha correspondente faz um ângulo
\varphi=\operatorname{arccos}(\zeta)
com o eixo negativo real. Assim, se eu representar o ponto do pólo como s=r e^{j\theta}, para o par com amortecimento \zeta escolha
\theta=\pi\pm\operatorname{arccos}(\zeta).
No nosso caso \zeta=0{,}66, logo
\operatorname{arccos}(0{,}66)\approx 48{,}59^\circ
e
\theta=180^\circ-48{,}59^\circ\approx 131{,}41^\circ\quad(\text{e o conjugado }-131{,}41^\circ).
Então os pólos desejados estão na direção \theta\approx\pm 131{,}41^\circ a partir da origem, em algum raio r>0 (a escala r depende da frequência natural \omega_n).

Passo 6

Procedimento para encontrar r (e então \sigma,\omega e K):
Usamos a condição de característica s^{3}+5s^{2}+K s+10=0. Para um candidato s=r e^{j\theta} que esteja no root locus existe um K real que satisfaz essa equação. Reescrevendo a equação para K
K = -\frac{s^{3}+5s^{2}+10}{s}.
Para que K seja real (já que buscamos K\in\mathbb{R}), a parte imaginária do lado direito deve ser zero. Trabalhar com potências exponenciais é mais simples: escrevo s=r e^{j\theta}, então
s^{3}=r^{3}e^{j3\theta},\qquad s^{2}=r^{2}e^{j2\theta}.
Multiplicando numerador e denominador convenientemente e extraindo a condição imaginária resulta (desenvolvimento direto):
\Im\big\{(s^{3}+5s^{2}+10)\overline{s}\big\}=0.
Fazendo as contas em forma polar isso leva à condição simples
2 r^{3}\cos\theta +5 r^{2} -10 = 0.
(Explicação curta: ao desenvolver a parte imaginária de (r^{3}e^{j3\theta}+5r^{2}e^{j2\theta}+10)\cdot r e^{-j\theta} e dividir por r\sin\theta obtém-se exactamente essa equação; é uma forma prática e muito usada para localizar pontos em retas de amortecimento.)
Agora substituo \cos\theta. Como \theta=\pi-\operatorname{arccos}(\zeta), temos \cos\theta=-\zeta. Portanto a equação fica
2 r^{3}(-\zeta) +5 r^{2} -10 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2\zeta\, r^{3} -5 r^{2} +10 =0.

Passo 7

Substituo \zeta=0{,}66 e resolvo numericamente para r>0:
2\zeta = 1{,}32,
portanto a equação é
1{,}32\, r^{3} -5 r^{2} +10 = 0.
Faço tentativa numérica:
  • r=2 1{,}32\cdot 8 -5\cdot 4 +10 =10{,}56 -20 +10 =0{,}56>0.
  • r=2{,}15 dá valor ligeiramente negativo (cerca de -0{,}0035).
  • Refinando, encontro a raiz
r\approx 2{,}149.
Portanto o pólo desejado (o de parte imaginária positiva) é
s = r e^{j\theta}\approx 2{,}149\,e^{j131{,}41^\circ}.
Agora calcule as coordenadas \sigma e \omega (parte real e imaginária):
\sigma = r\cos\theta = 2{,}149\cdot(-0{,}66)\approx -1{,}418,
\omega = r\sin\theta = 2{,}149\cdot 0{,}7513\approx 1{,}614.
Cheque rápido: a razão de amortecimento é
\zeta = \frac{-\sigma}{\sqrt{\sigma^{2}+\omega^{2}}} = \frac{1{,}418}{\sqrt{1{,}418^{2}+1{,}614^{2}}} \approx 0{,}66,
conforme desejado (pequeno erro de arredondamento).

Passo 8

Finalmente encontramos K. Podemos usar a expressão obtida antes (da separação em partes real/ímaginária ou a condição de magnitude). Uma fórmula prática obtida anteriormente (pela separação das partes imaginária e real) é
K=\omega^{2}-3\sigma^{2}-10\sigma,
que vem da equação imaginária dividida por \omega e substituições — mas também podemos usar a forma direta
K=\frac{|s^{3}+5s^{2}+10|}{|s|}.
Usando os valores numéricos \sigma\approx -1{,}418 e \omega\approx 1{,}614:
  • \omega^{2}\approx 2{,}606,
  • \sigma^{2}\approx 2{,}010.
Então
K \approx \omega^{2} - 3\sigma^{2} -10\sigma \approx 2{,}606 -3\cdot 2{,}010 -10(-1{,}418).
Calculo detalhado:
  • 3\sigma^{2}\approx 6{,}030,
  • -10\sigma\approx 14{,}18.
Somando:
K \approx 2{,}606 -6{,}030 +14{,}18 \approx 10{,}756.
Arredondando com precisão razoável, obtemos
K\approx 10{,}76.

Resposta

Root locus: três ramos partindo dos polos de malha aberta s\approx -5{,}356 e s\approx 0{,}178\pm j1{,}369; um zero em s=0; duas assimptotas ( \pm 90^\circ) com centro em \Re(s)=-2{,}5.\n
K\approx 10{,}76

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