E7.24 Considere o sistema representado na forma de variáveis de estado
\begin{gathered} \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A} \mathbf{x}+\mathbf{B} u \\\ y=\mathbf{C} \mathbf{x}+\mathbf{D} u \end{gathered}
em que
\begin{aligned} & \mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ -4 & -k \end{array}\right], \mathbf{B}=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \end{array}\right], \\\ & \mathbf{C}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right], \quad \text { e } \quad \mathbf{D}=[0] . \end{aligned}
Determine a equação característica e então esboce o lugar geométrico das raízes para 0<k<\infty.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) determinar a equação característica do sistema dado na forma de variáveis de estado e (ii) esboçar o lugar geométrico das raízes quando 0<k<\infty.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-4 & -k\end{pmatrix},\qquad \mathbf{B}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{C}=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix},\qquad \mathbf{D}=\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}.
Não se pede controle por realimentação explícita — aqui vamos encontrar os autovalores (polos) do sistema livre, isto é, as raízes do polinômio característico de \mathbf{A}, e estudar como essas raízes variam quando k varia em (0,\infty).]

Passo 2

Para achar a equação característica usamos a definição: o polinômio característico é dado por \det(s\mathbf{I}-\mathbf{A})=0. Primeiro escrevemos s\mathbf{I}-\mathbf{A}:
s\mathbf{I}-\mathbf{A}=\begin{pmatrix}s & 0\\[4pt]0 & s\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-4 & -k\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}s & -1\\[4pt]4 & s+k\end{pmatrix}.
Agora calculamos o determinante passo a passo:
\det(s\mathbf{I}-\mathbf{A})=s(s+k)-(-1)\cdot 4 = s(s+k)+4.]

Passo 3

Simplificando o determinante obtemos o polinômio característico em forma canônica:
\det(s\mathbf{I}-\mathbf{A})=s^2 + k s + 4.
Portanto a equação característica (igualada a zero) é
s^2 + k s + 4 = 0.

Passo 4

Para encontrar as raízes (autovalores) aplicamos a fórmula da resolução da equação quadrática. Para uma equação s^2 + k s + 4 = 0 as raízes são
s = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - 16}}{2}.
Aqui é útil analisar o discriminante \Delta = k^2 - 16 para classificar os tipos de raízes:
  • Se \Delta<0 (isto é, 0<k<4) as raízes são complexas conjugadas.
  • Se \Delta=0 (isto é, k=4) tem-se uma raiz dupla real.
  • Se \Delta>0 (isto é, k>4) as raízes são reais e distintas.

Passo 5

Estudo detalhado do caso 0<k<4 (raízes complexas). Escrevemos as raízes como parte real e imaginária:
s = -\frac{k}{2} \pm j\,\frac{\sqrt{16-k^2}}{2}.
Definindo \sigma=\operatorname{Re}(s)=-\dfrac{k}{2} e \omega=\operatorname{Im}(s)=\pm\dfrac{\sqrt{16-k^2}}{2}, eliminamos k para obter a curva geométrica seguida pelas raízes. Da relação \sigma=-\dfrac{k}{2} temos \left(\dfrac{k}{2}\right)^2=\sigma^2. Então
\omega^2=\frac{16-k^2}{4}=4-\sigma^2.
Logo as partes real e imaginária satisfazem
\sigma^2+\omega^2=4,
ou seja, as raízes complexas movem-se sobre o círculo de raio 2 centrado na origem. Como \sigma=-\dfrac{k}{2}<0 para k>0, apenas a semicircunferência à esquerda do plano complexo é ocupada. Os pontos extremos: para k=0 obtemos s=\pm j2 (pontos sobre o eixo imaginário), e quando k aumenta até 4 as raízes deslocam-se ao longo da semicircunferência esquerda até se encontrarem em s=-2 quando k=4.

Passo 6

Caso k=4: as duas raízes coalescem em
s=\frac{-4}{2}=-2,
isto é, raiz dupla em s=-2 (ponto de encontro na semicircunferência).

Passo 7

Caso k>4: raízes reais e negativas. Escrevemos novamente
s_{1,2}=\frac{-k \pm \sqrt{k^2-16}}{2}.
Ambas são negativas porque a soma das raízes é -k<0 e o produto das raízes é 4>0. Para interpretar o comportamento assintótico quando k\to\infty usamos o produto constante:
s_1 s_2 = 4.
Se uma raiz tende a -\infty com k\to\infty, a outra deve tender a 0 de modo que o produto permaneça 4. De fato, a análise assintótica mostra:
\text{uma raiz } s\approx -k \to -\infty,\qquad \text{a outra } s\approx -\frac{4}{k}\to 0^{-}\\ \text{quando }k\to\infty.

Passo 8

Resumo geométrico do lugar das raízes (como deve ser esboçado):
  • Em k=0: dois polos puros imaginários em s=\pm j2.
  • Para 0<k<4: os polos são conjugados e percorrem a semicircunferência de raio 2 centrada na origem, mas somente a metade esquerda ( \operatorname{Re}(s)<0), deslocando-se de s=\pm j2 até s=-2.
  • Em k=4: polos coincidem em s=-2 (raiz dupla).
  • Para k>4: polos seguem ao longo do eixo real negativo; ao aumentar k mais, um polo vai para -\infty e o outro aproxima-se de 0 pelo lado negativo.
    No esboço desenhe o círculo de raio 2, marque a semicircunferência esquerda entre j2 e -j2, setas indicando movimento para s=-2 conforme k cresce até 4, e depois setas sobre o eixo real negativo mostrando a separação: um ramo para -\infty e outro para 0^{-}.

Resposta

s^2 + k s + 4 = 0.
Lugar das raízes: para 0<k<4 os polos são conjugados e percorrem a semicircunferência \sigma^2+\omega^2=4 com \sigma<0, partindo de s=\pm j2 em k=0 e encontrando-se em s=-2 quando k=4; para k>4 os polos são reais negativos, um vai para -\infty e o outro aproxima-se de 0^{-} quando k\to\infty.

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