1-0,25 \mathrm{~kg} de um gás a 8 bar e ocupando um volume de 0,02 \mathrm{~m}^{3} se expande em um conjunto pistão-cilindro até uma pressão de 2 bar, de acordo com o processo descrito pela equação \mathrm{P} \cdot \mathrm{V}^{1.2}= constante. Se sua energia interna especifica diminui 55 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} e se as variações das energias cinética e potencial são despreziveis, calcule o calor transferido durante o processo.

Passo 1

O enunciado nos dá uma massa de gás m=0,25\\ \mathrm{kg} que passa de P_{1}=8\\ \mathrm{bar} e V_{1}=0,02\\ \mathrm{m}^{3} para P_{2}=2\\ \mathrm{bar} seguindo o processo politrópico P\,V^{1,2}= constante. Sabe‐se também que a energia interna específica varia \Delta u=-55\\ \mathrm{kJ/kg} e que não há variação de energia cinética nem potencial. Queremos o calor Q transferido.

Passo 2

Para achar o volume final V_{2} usamos
P_{1}V_{1}^{1,2}=P_{2}V_{2}^{1,2} \quad\Longrightarrow\quad V_{2} =V_{1}\Bigl(\frac{P_{1}}{P_{2}}\Bigr)^{1/1,2}.
Substituindo P_{1}/P_{2}=8/2=4 e V_{1}=0,02\\ \mathrm{m}^{3}:
V_{2} =0,02\cdot 4^{1/1,2} \approx0,02\cdot3,176 =0,0635\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 3

O trabalho realizado pelo gás no processo politrópico é
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV =\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-n},
com n=1,2. Convertendo P para pascal 1\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}:
P_{1}V_{1}=8\times10^{5}\cdot0,02=1,60\times10^{4}\\ \mathrm{J}, \quad P_{2}V_{2}=2\times10^{5}\cdot0,0635=1,27\times10^{4}\\ \mathrm{J},
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W =\frac{1,27\times10^{4}-1,60\times10^{4}}{1-1,2} =\frac{-3,30\times10^{3}}{-0,2} =1,65\times10^{4}\\ \mathrm{J} =16,5\\ \mathrm{kJ}.

Passo 4

Pela primeira lei da termodinâmica para sistema aberto (sem variações cinética e potencial):
Q=\Delta U+W,
onde \Delta U=m\,\Delta u=0,25\cdot(-55)= -13,75\\ \mathrm{kJ}. Assim,
Q=-13,75+16,5=2,75\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

O calor transferido durante o processo é Q=2,75\\ \mathrm{kJ}.

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