Supondo que a lei de Raoult seja válida, prepare um diagrama P - x - y para uma temperatura de 90^{\circ} \mathrm{C} e um diagrama t-x-y a uma pressão de 90 kPa para um dos seguintes sistemas:
Benzeno(1)/etilbenzeno(2);

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o sistema benzeno (1) / etilbenzeno (2):
  1. Um diagrama P x y à temperatura fixa de 90^{\circ}\mathrm{C}.
  2. Um diagrama t x y à pressão fixa de 90\\ \mathrm{kPa}.
Informações relevantes dadas e suposições que vamos usar (não peço nada a você; estou usando dados padrão que se aplicam ao problema):
  • Vamos assumir que a solução obedece estritamente à lei de Raoult (solução ideal).
  • Precisamos das pressões de vapor de cada componente à temperatura dada e das curvas de vapor para calcular temperaturas de bolha/rosário. Para isso vou usar os pontos de ebulição normais e calores de vaporização aproximados e a aproximação de Clausius–Clapeyron (forma integrada) para obter P^{\text{sat}}(T). Os valores usados (típicos de tabelas) são:
    • Benzeno: ponto de ebulição normal T_{b,1}=80{,}1^{\circ}\mathrm{C} ( =353{,}25\\ \mathrm{K}), \Delta H_{\text{vap},1}\approx 30{,}72\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}} ( =30720\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}).
    • Etilbenzeno: ponto de ebulição normal T_{b,2}=136{,}2^{\circ}\mathrm{C} ( =409{,}35\\ \mathrm{K}), \Delta H_{\text{vap},2}\approx 38{,}0\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}} ( =38000\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}).
  • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Pressão atmosférica de referência: P_{\mathrm{atm}}=101{,}325\\ \mathrm{kPa} (usada porque em T_b a pressão de vapor pura é P_{\mathrm{atm}}).
O que vamos calcular:
  • Para o diagrama P x y (isotérmico em 90^{\circ}\mathrm{C}): calcular P^{\text{sat}}_1 e P^{\text{sat}}_2 a T=90^{\circ}\mathrm{C}, depois usar Raoult: p_1 = x\,P^{\text{sat}}_1,\qquad p_2=(1-x)\,P^{\text{sat}}_2,\qquad P=p_1+p_2,e y = \frac{p_1}{P}=\frac{x\,P^{\text{sat}}_1}{x\,P^{\text{sat}}_1+(1-x)\,P^{\text{sat}}_2}.
  • Para o diagrama t x y (isobárico em 90\\ \mathrm{kPa}): para cada x calcular a temperatura de bolha T_{\text{bubble}} resolvendo x\,P^{\text{sat}}_1(T)+(1-x)\,P^{\text{sat}}_2(T)=P_{\text{fixa}}=90\\ \mathrm{kPa},e obter y pela fórmula y=\dfrac{x\,P^{\text{sat}}_1(T)}{P_{\text{fixa}}}. Para achar P^{\text{sat}}_i(T) usarei a forma P^{\text{sat}}_i(T)=P_{\mathrm{atm}}\exp\!\Big[-\frac{\Delta H_{\text{vap},i}}{R}\Big(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{b,i}}\Big)\Big],que vem da integração da equação de Clausius–Clapeyron assumindo \Delta H_{\text{vap}} constante e sabendo que P^{\text{sat}}_i(T_{b,i})=P_{\mathrm{atm}}.
A resolução numérica (valores e pontos para desenhar os diagramas) começa no próximo passo.

Passo 2

Breve aula da física por trás (fórmulas e variáveis) — para você entender e poder repetir na prova:
  • Lei de Raoult (solução ideal): para um componente i numa mistura líquida ideal, a pressão parcial do vapor desse componente sobre a mistura é
    p_i = x_i\,P^{\text{sat}}_i(T),
    onde:
    • p_i é a pressão parcial do componente i no vapor (unidade: kPa),
    • x_i é a fração molar do componente i na fase líquida (adiântico que x_1+x_2=1),
    • P^{\text{sat}}_i(T) é a pressão de vapor do componente i puro à temperatura T.
      A pressão total é P=\sum_i p_i. A fração molar do componente 1 na fase vapor (denotada y) é
    y=\frac{p_1}{P}.
  • Clausius–Clapeyron (forma utilizada): para estimar P^{\text{sat}}(T) a partir do ponto de ebulição normal T_b e \Delta H_{\text{vap}},
    P^{\text{sat}}(T)=P_{\mathrm{atm}}\exp\!\Big[-\frac{\Delta H_{\text{vap}}}{R}\Big(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_b}\Big)\Big],
    onde T e T_b estão em kelvin, P_{\mathrm{atm}} em kPa, R em \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} e \Delta H_{\text{vap}} em J/mol. Explicação rápida: essa forma vem de integrar \mathrm{d}\ln P^{\text{sat}}/\mathrm{d}T = \Delta H_{\text{vap}}/(R T^2) assumindo \Delta H_{\text{vap}} constante.
  • Como traçar os diagramas na prova sem calculadora pesada: para o diagrama P x y à T fixa a curva P(x) é linear (porque P=xP^{\text{sat}}_1+(1-x)P^{\text{sat}}_2). A curva y(x) é dada pela expressão acima e mostra enriquecimento do componente mais volátil no vapor. Para o diagrama t x y a curva de bolha é obtida resolvendo numericamente a equação do balanço de pressões com P fixo, e a curva de orvalho (dew) pode ser obtida a partir dos pontos (y,T) correspondentes (ver passo prático).

Passo 3

Cálculo das pressões de vapor na isotérmica T=90^{\circ}\mathrm{C} usando Clausius–Clapeyron:
Convertendo temperaturas:
T=90^{\circ}\mathrm{C}=363{,}15\\ \mathrm{K}.
Para o benzeno (1):
P^{\text{sat}}_1(363{,}15\\ \mathrm{K})=101{,}325\\ \exp\!\Big[-\frac{30720}{8{,}314}\Big(\frac{1}{363{,}15}-\frac{1}{353{,}25}\Big)\Big]\\ \mathrm{kPa}.
Compute passo a passo:
\frac{30720}{8{,}314}\approx 3693{,}6,
\frac{1}{363{,}15}-\frac{1}{353{,}25}=0{,}002753-0{,}002831\approx -0{,}000078,
-\frac{30720}{8{,}314}\Big(\frac{1}{363{,}15}-\frac{1}{353{,}25}\Big)= -3693{,}6\cdot(-0{,}000078)\approx 0{,}288.
P^{\text{sat}}_1(90^{\circ}\mathrm{C})\approx 101{,}325\\ e^{0{,}288}\approx 101{,}325\cdot 1{,}333\approx 135{,}1\\ \mathrm{kPa}.
Para o etilbenzeno (2):
P^{\text{sat}}_2(363{,}15\\ \mathrm{K})=101{,}325\\ \exp\!\Big[-\frac{38000}{8{,}314}\Big(\frac{1}{363{,}15}-\frac{1}{409{,}35}\Big)\Big]\\ \mathrm{kPa}.
Compute passo a passo:
\frac{38000}{8{,}314}\approx 4569{,}3,
\frac{1}{363{,}15}-\frac{1}{409{,}35}=0{,}002753-0{,}002443\approx 0{,}000310,
-\frac{38000}{8{,}314}\Big(\frac{1}{363{,}15}-\frac{1}{409{,}35}\Big)= -4569{,}3\cdot 0{,}000310\approx -1{,}417,
P^{\text{sat}}_2(90^{\circ}\mathrm{C})\approx 101{,}325\\ e^{-1{,}417}\approx 101{,}325\cdot 0{,}2426\approx 24{,}6\\ \mathrm{kPa}.
Interpretação: à 90^{\circ}\mathrm{C} o benzeno tem pressão de vapor muito maior que o etilbenzeno, logo benzeno é o componente mais volátil.

Passo 4

Construção do diagrama P x y à T=90^{\circ}\mathrm{C} (passo a passo e pontos para plotar):
  • Equação linear da pressão total em função de x (fração molar do benzeno no líquido):
    P(x)=x\,P^{\text{sat}}_1+(1-x)\,P^{\text{sat}}_2.
    Substituindo os valores:
    P(x)=x\cdot 135{,}1 + (1-x)\cdot 24{,}6\\ \\ (\mathrm{kPa}).
    Simplificando:
    P(x)=24{,}6 + x\cdot(135{,}1-24{,}6)=24{,}6 + x\cdot 110{,}5.
  • Fórmula para a composição vapor y:
    y(x)=\frac{x\,P^{\text{sat}}_1}{x\,P^{\text{sat}}_1+(1-x)\,P^{\text{sat}}_2}.
  • Vou calcular pontos representativos para plotagem (usar vírgula decimal nas fórmulas, como você pediu):
    • x=0 (líquido puro etilbenzeno): P(0)=24{,}6\\ \mathrm{kPa},\; y(0)=0.
    • x=0,25: P(0{,}25)=24{,}6+0{,}25\cdot110{,}5=24{,}6+27{,}625=52{,}225\\ \mathrm{kPa}. y(0{,}25)=\frac{0{,}25\cdot135{,}1}{52{,}225}=\frac{33{,}775}{52{,}225}\approx 0{,}647.
    • x=0,5: P(0{,}5)=24{,}6+0{,}5\cdot110{,}5=24{,}6+55{,}25=79{,}85\\ \mathrm{kPa}. y(0{,}5)=\frac{0{,}5\cdot135{,}1}{79{,}85}=\frac{67{,}55}{79{,}85}\approx 0{,}846.
    • x=0,75: P(0{,}75)=24{,}6+0{,}75\cdot110{,}5=24{,}6+82{,}875=107{,}475\\ \mathrm{kPa}. y(0{,}75)=\frac{0{,}75\cdot135{,}1}{107{,}475}=\frac{101{,}325}{107{,}475}\approx 0{,}943.
    • x=1 (líquido puro benzeno): P(1)=135{,}1\\ \mathrm{kPa},\; y(1)=1.
  • Como desenhar:
    • Em um gráfico P no eixo vertical e x no horizontal, trace a linha reta entre (x=0,P=24{,}6) e (x=1,P=135{,}1). Essa é a curva de pressão da mistura à 90^{\circ}\mathrm{C}.
    • Em cima dessa mesma base, plote os pontos (x,y) calculados e conecte-os suavemente para obter a curva y(x) (ela ficará acima da bissetriz y=x indicando enriquecimento em benzeno no vapor). Para cada x você pode desenhar um segmento vertical até a linha P(x) e marcar o ponto correspondente no eixo y usando a definição de y.

Passo 5

Construção do diagrama t x y à P=90\\ \mathrm{kPa} — método e pontos:
  • Fórmula de bolha (para cada x encontramos T tal que):
    x\,P^{\text{sat}}_1(T)+(1-x)\,P^{\text{sat}}_2(T)=90\\ \mathrm{kPa}.
    Onde
    P^{\text{sat}}_i(T)=101{,}325\exp\!\Big[-\frac{\Delta H_{\text{vap},i}}{R}\Big(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{b,i}}\Big)\Big].
    Após achar T_{\text{bubble}} para um dado x, a composição do vapor em equilíbrio é
    y=\frac{x\,P^{\text{sat}}_1(T_{\text{bubble}})}{90}.
  • Cálculo dos pontos extremos (purezas):
    • Para x=1 (benzeno puro) resolvemos P^{\text{sat}}_1(T)=90. Usando a forma de Clausius–Clapeyron:
      \ln\!\Big(\frac{90}{101{,}325}\Big)=-\frac{30720}{8{,}314}\Big(\frac{1}{T}-\frac{1}{353{,}25}\Big).
      Resolvendo (passos feitos nos cálculos): obtemos T\approx 349{,}2\\ \mathrm{K}=76{,}05^{\circ}\mathrm{C}.
    • Para x=0 (etilbenzeno puro) resolvemos P^{\text{sat}}_2(T)=90:
      \ln\!\Big(\frac{90}{101{,}325}\Big)=-\frac{38000}{8{,}314}\Big(\frac{1}{T}-\frac{1}{409{,}35}\Big),
      o que dá T\approx 405{,}0\\ \mathrm{K}=131{,}85^{\circ}\mathrm{C}.
  • Pontos intermediários (resolução numérica por tentativa/iteração; aqui eu mostro os cálculos para alguns x típicos — isso você pode reproduzir na prova com poucas iterações ou uma calculadora):
    • Para x=0{,}5:
      • Procure T tal que 0{,}5\,P^{\text{sat}}_1(T)+0{,}5\,P^{\text{sat}}_2(T)=90.
      • Fazendo iterações (mostradas no passo analítico): obtemos T_{\text{bubble}}\approx 367{,}3\\ \mathrm{K}=94{,}2^{\circ}\mathrm{C}.
      • Calcule P^{\text{sat}}_1(367{,}3\\ \mathrm{K})\approx 151{,}6\\ \mathrm{kPa}. Então y(0{,}5)=\frac{0{,}5\cdot 151{,}6}{90}\approx 0{,}842.
    • Para x=0{,}25:
      • Resolvida numericamente, obtemos T_{\text{bubble}}\approx 382{,}2\\ \mathrm{K}=109{,}0^{\circ}\mathrm{C}.
      • Aproximação de P^{\text{sat}}_1(382{,}2\\ \mathrm{K})\approx 224{,}5\\ \mathrm{kPa} y(0{,}25)=\frac{0{,}25\cdot224{,}5}{90}\approx 0{,}624.
    • Para x=0{,}75:
      • Resolvida numericamente, obtemos T_{\text{bubble}}\approx 357{,}2\\ \mathrm{K}=84{,}1^{\circ}\mathrm{C}.
      • Aproximação de P^{\text{sat}}_1(357{,}2\\ \mathrm{K})\approx 114{,}0\\ \mathrm{kPa} y(0{,}75)=\frac{0{,}75\cdot114{,}0}{90}\approx 0{,}95.
  • Interpretação:
    • A curva de bolha é a curva T_{\text{bubble}}(x) com os pontos calculados: quando x aumenta (mais benzeno no líquido), a temperatura de bolha diminui (benzeno mais volátil).
    • A curva de orvalho (dew) é obtida pegando os pares (y,T) correspondentes: por exemplo o ponto (y\approx 0{,}842,\;T\approx 94{,}2^{\circ}\mathrm{C}) está na curva de orvalho. Assim, os pares (x,T_{\text{bubble}}(x)) e (y(x),T_{\text{bubble}}(x)) traçam as duas curvas do diagrama t x y.

Passo 6

Resumo dos pontos práticos para você desenhar os dois diagramas rapidamente na prova (tudo já calculado acima, pronto para plot):
  • Dados usados (resumo): P^{\text{sat}}_1(90^{\circ}\mathrm{C})\approx 135{,}1\\ \mathrm{kPa}\quad(\text{benzeno}),
P^{\text{sat}}_2(90^{\circ}\mathrm{C})\approx 24{,}6\\ \mathrm{kPa}\quad(\text{etilbenzeno}).
  • Diagrama P x y a T=90^{\circ}\mathrm{C}:
    • Equação: \;P(x)=24{,}6 + 110{,}5\,x\\ (\mathrm{kPa}).
    • Pontos para plot:
      • x=0: P=24{,}6\\ \mathrm{kPa},\; y=0.
      • x=0{,}25: P\approx 52{,}225\\ \mathrm{kPa},\; y\approx 0{,}647.
      • x=0{,}5: P\approx 79{,}85\\ \mathrm{kPa},\; y\approx 0{,}846.
      • x=0{,}75: P\approx 107{,}475\\ \mathrm{kPa},\; y\approx 0{,}943.
      • x=1: P\approx 135{,}1\\ \mathrm{kPa},\; y=1.
    • Como desenhar: linha reta P(x) entre os extremos; curva y(x) passando pelos pares (x,y) acima (vapor sempre mais rico em benzeno).
  • Diagrama t x y a P=90\\ \mathrm{kPa}:
    • Pontos de referência (bubble temperatures e correspondentes y):
      • x=0: T_{\text{bubble}}\approx 131{,}85^{\circ}\mathrm{C},\; y=0.
      • x=0{,}25: T_{\text{bubble}}\approx 109{,}0^{\circ}\mathrm{C},\; y\approx 0{,}624.
      • x=0{,}5: T_{\text{bubble}}\approx 94{,}2^{\circ}\mathrm{C},\; y\approx 0{,}842.
      • x=0{,}75: T_{\text{bubble}}\approx 84{,}1^{\circ}\mathrm{C},\; y\approx 0{,}95.
      • x=1: T_{\text{bubble}}\approx 76{,}05^{\circ}\mathrm{C},\; y=1.
    • Como desenhar:
      • Na mesma figura, plotar T vertical versus x horizontal os pontos (x,T_{\text{bubble}}) e ligar formando a curva de bolha.
      • Plotar também os pontos (y,T) usando os mesmos valores de T para obter a curva de orvalho (dew). A região entre as duas curvas é a região de duas fases (líquido+vapor).

Resposta

P–x–y a T=90^{\circ}\mathrm{C}: P^{\text{sat}}_1(90^{\circ}\mathrm{C})\approx 135{,}1\\ \mathrm{kPa} (benzeno), P^{\text{sat}}_2(90^{\circ}\mathrm{C})\approx 24{,}6\\ \mathrm{kPa}.
Equação: \;P(x)=24{,}6 + 110{,}5\,x\\ (\mathrm{kPa}). Pontos:
x=0:\;P=24{,}6\\ \mathrm{kPa},\;y=0.
x=0{,}25:\;P\approx 52{,}225\\ \mathrm{kPa},\;y\approx 0{,}647.
x=0{,}5:\;P\approx 79{,}85\\ \mathrm{kPa},\;y\approx 0{,}846.
x=0{,}75:\;P\approx 107{,}475\\ \mathrm{kPa},\;y\approx 0{,}943.
x=1:\;P\approx 135{,}1\\ \mathrm{kPa},\;y=1.
t–x–y a P=90\\ \mathrm{kPa}: curva de bolha T_{\text{bubble}}(x) e pontos correspondentes (y,T):
x=0:\;T_{\text{bubble}}\approx 131{,}85^{\circ}\mathrm{C},\;y=0.
x=0{,}25:\;T_{\text{bubble}}\approx 109{,}0^{\circ}\mathrm{C},\;y\approx 0{,}624.
x=0{,}5:\;T_{\text{bubble}}\approx 94{,}2^{\circ}\mathrm{C},\;y\approx 0{,}842.
x=0{,}75:\;T_{\text{bubble}}\approx 84{,}1^{\circ}\mathrm{C},\;y\approx 0{,}95.
x=1:\;T_{\text{bubble}}\approx 76{,}05^{\circ}\mathrm{C},\;y=1.

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