A 300 K, o fator de compressibilidade de um gás é dado por: \mathrm{Z}=1-3,96 \times 10^{-8} P+ 1,45 \times 10^{-15} P^{2}, com P em Pascal. Calcular o trabalho realizado pelo gás numa expansão isotérmica ( 300 K ), em que a pressão do gás passa de 50 para 30 bar , admitindo-se que:
a expansão é quase-estática ( \mathrm{R}: w=-1,27 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol} )

Passo 1

O enunciado trata da expansão isotérmica reversível ( T=300 K) de um mol de gás real, cujo fator de compressibilidade é
Z = 1 - 3,96\times 10^{-8}\,P \;+\; 1,45\times 10^{-15}\,P^{2},
com P em pascal. Queremos o trabalho w por mol na expansão de P_1=50 bar até P_2=30 bar.

Passo 2

Para um processo isotérmico reversível vale
w = -\int_{V_1}^{V_2}P\,dV.
Como, por mol,
V = \frac{Z\,R\,T}{P},
podemos mudar a variável de integração de V para P. Usando dV = d\bigl(ZRT/P\bigr) e tomando n=1, obtém-se
w = -R\,T\,(Z_2 - Z_1)\;+\;R\,T\int_{P_1}^{P_2}\frac{Z}{P}\,dP.

Passo 3

Com Z=1 + aP + bP^2, onde a=-3,96\times10^{-8} e b=1,45\times10^{-15}, calculamos
\int_{P_1}^{P_2}\frac{Z}{P}\,dP = \int_{P_1}^{P_2}\Bigl(\tfrac1P + a + bP\Bigr)dP = \ln\frac{P_2}{P_1} \;+\;a\,(P_2-P_1) \;+\;\frac{b}{2}\bigl(P_2^2-P_1^2\bigr),
e também
Z_2 - Z_1 = a\,(P_2-P_1) + b\,(P_2^2-P_1^2).
Substituindo em w simplifica-se para
w = R\,T\Bigl[\ln\frac{P_2}{P_1} \;-\;\tfrac{b}{2}\bigl(P_2^2-P_1^2\bigr)\Bigr].

Passo 4

Convertendo P_1=50 bar e P_2=30 bar em pascal ( 1 bar =10^5 Pa) e usando R=8,314 J/(mol K), T=300 K, obtemos
\ln\frac{P_2}{P_1} = \ln\frac{3\times10^6}{5\times10^6} = \ln(0,6)\approx -0,5108,
\tfrac{b}{2}\bigl(P_2^2-P_1^2\bigr) = \frac{1,45\times10^{-15}}{2}\bigl(9\times10^{12}-25\times10^{12}\bigr) \approx -0,0116.
Logo
w = (8,314)(300)\bigl[-0,5108 -(-0,0116)\bigr] \approx -1,27\times10^{3}\\ \mathrm{J/mol}.

Resposta

w \approx -1,27\\ \mathrm{kJ/mol}.

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