A 300 K, o fator de compressibilidade de um gás é dado por: \mathrm{Z}=1-3,96 \times 10^{-8} P+ 1,45 \times 10^{-15} P^{2}, com P em Pascal. Calcular o trabalho realizado pelo gás numa expansão isotérmica ( 300 K ), em que a pressão do gás passa de 50 para 30 bar , admitindo-se que:
a expansão realiza-se contra uma pressão externa constante e igual a 30 bar ( \mathrm{R}: w= -975 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} )

Passo 1

O enunciado trata de uma expansão isotérmica ( T=300\\ \mathrm{K}) de um mol de gás real cujo fator de compressibilidade é
Z = 1 - 3{,}96 \times 10^{-8}P + 1{,}45 \times 10^{-15}P^{2},
com P em Pascal. A expansão é irreversível contra pressão externa constante P_{\mathrm{ext}}=30\\ \mathrm{bar}. Queremos calcular o trabalho molar
w = -P_{\mathrm{ext}}\,\Delta V.
Para isso vamos: (i) obter Z nos estados inicial ( P_1=50\\ \mathrm{bar}) e final ( P_2=30\\ \mathrm{bar}), (ii) calcular os volumes molares V_1 e V_2 usando V = \frac{ZRT}{P}, (iii) achar \Delta V e finalmente w.

Passo 2

Converter pressões para Pascal e calcular Z_1 e Z_2:
P_1 = 50\\ \mathrm{bar} = 5{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa},\quad P_2 = 30\\ \mathrm{bar} = 3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Para P_1:
Z_1 = 1 - 3{,}96\times10^{-8}\,(5{,}0\times10^{6}) + 1{,}45\times10^{-15}\,(5{,}0\times10^{6})^{2} \approx 0{,}83825.
Para P_2:
Z_2 = 1 - 3{,}96\times10^{-8}\,(3{,}0\times10^{6}) + 1{,}45\times10^{-15}\,(3{,}0\times10^{6})^{2} \approx 0{,}89425.

Passo 3

Calcular os volumes molares usando R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}} e T=300\\ \mathrm{K}:
V_1 = \frac{Z_1\,R\,T}{P_1} = \frac{0{,}83825 \times 8{,}314 \times 300}{5{,}0\times10^{6}} \approx 1{,}6765\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{3}/mol},
V_2 = \frac{Z_2\,R\,T}{P_2} = \frac{0{,}89425 \times 8{,}314 \times 300}{3{,}0\times10^{6}} \approx 2{,}9808\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{3}/mol}.

Passo 4

Determinar a variação de volume molar e o trabalho:
\Delta V = V_2 - V_1 \approx (2{,}9808 - 1{,}6765)\times10^{-7} = 1{,}3043\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{3}/mol},
w = -P_{\mathrm{ext}}\,\Delta V = -\bigl(3{,}0\times10^{6}\bigr)\times\bigl(1{,}3043\times10^{-7}\bigr) \approx -976{,}3\\ \mathrm{J/mol}.

Resposta

w \approx -975\\ \mathrm{J/mol}

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