A 300 K uma mistura gasosa num campo gravitacional exerce uma pressão total de 1 atm e consiste de nitrogênio,
, numa fração molar de 0,600 ; o outro gás é dióxido de carbono,
.
b) Calcule o número de moles de nitrogênio entre 0 e 50 km de altitude numa coluna cuja área da seção reta é de 5
.
b) Calcule o número de moles de nitrogênio entre 0 e 50 km de altitude numa coluna cuja área da seção reta é de 5
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma mistura gasosa composta por nitrogênio (N₂) e dióxido de carbono (CO₂) a uma temperatura de 300 K. A pressão total dessa mistura é de 1 atm, e a fração molar de nitrogênio é 0,600. As massas molares dos gases são dadas: N₂ tem 0,0280 kg/mol e CO₂ tem 0,0440 kg/mol. A pergunta é: quantos moles de nitrogênio existem entre 0 e 50 km de altitude em uma coluna com área de seção reta de 5 m².
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como:
- Frações molares: a proporção de cada componente em uma mistura de gases.
- Lei dos Gases Ideais: relaciona pressão, volume, temperatura e quantidade de matéria.
- Gradiente de pressão na atmosfera: como a pressão varia com a altitude devido ao campo gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a pressão parcial do nitrogênio na mistura. A pressão parcial de um gás em uma mistura é dada pela fração molar desse gás multiplicada pela pressão total da mistura.
Onde:
- $ P_{N_2} $ é a pressão parcial do nitrogênio.
- $ X_{N_2} = 0,600 $ é a fração molar do nitrogênio.
- $ P_{total} = 1 , atm $ é a pressão total da mistura.
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos relacionar a pressão parcial do nitrogênio com o número de moles usando a Lei dos Gases Ideais. A fórmula da Lei dos Gases Ideais é:
Onde:
- $ P $ é a pressão.
- $ V $ é o volume.
- $ n $ é o número de moles.
- $ R $ é a constante dos gases ideais ($ R = 0,0821 , L·atm/mol·K $).
- $ T $ é a temperatura em Kelvin.
Queremos encontrar $ n $, então rearranjamos a equação:
Passo 4
Precisamos agora relacionar o volume com a altitude. Considerando a coluna de ar de área $ A = 5 , m^2 $ e altura $ h = 50 , km $, o volume $ V $ é dado por:
Convertendo 50 km para metros:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos ajustar a pressão para considerar a variação com a altitude. A pressão atmosférica diminui com o aumento da altitude devido à gravidade. Para simplificar, vamos assumir que a pressão varia exponencialmente com a altitude, conforme a seguinte fórmula:
Onde:
- $ P(z) $ é a pressão a uma altitude $ z $.
- $ P_0 = 1 , atm $ é a pressão ao nível do mar.
- $ M $ é a massa molar do nitrogênio ($ 0,0280 , kg/mol $).
- $ g = 9,81 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade.
- $ R = 8,314 , J/mol·K $ é a constante dos gases ideais.
- $ T = 300 , K $ é a temperatura.
Integrando essa expressão de pressão ao longo da altura, podemos encontrar o número total de moles de nitrogênio na coluna.
Passo 6
A quantidade de moles $ n $ pode ser obtida integrando a expressão da pressão parcial sobre a altura:
Substituindo $ P(z) $:
Passo 7
Calculando a integral:
Resolvendo a integral:
Onde $ k = \frac{Mg}{RT} $.
Então:
Simplificando:
Cancelando $ RT $:
Passo 8
Substituindo os valores numéricos:
Calculando o expoente:
Então:
Calculando $ e^{-5,506} $:
Então:
Resposta
O número de moles de nitrogênio entre 0 e 50 km de altitude na coluna de 5 m² é aproximadamente $ 1,84 \times 10^{6} , mol $.