A 300 K uma mistura gasosa num campo gravitacional exerce uma pressão total de 1 atm e consiste de nitrogênio, M=0,0280 kg / mol, numa fração molar de 0,600 ; o outro gás é dióxido de carbono, M=0,0440 kg / mol.
b) Calcule o número de moles de nitrogênio entre 0 e 50 km de altitude numa coluna cuja área da seção reta é de 5 m^2.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma mistura gasosa composta por nitrogênio (N₂) e dióxido de carbono (CO₂) a uma temperatura de 300 K. A pressão total dessa mistura é de 1 atm, e a fração molar de nitrogênio é 0,600. As massas molares dos gases são dadas: N₂ tem 0,0280 kg/mol e CO₂ tem 0,0440 kg/mol. A pergunta é: quantos moles de nitrogênio existem entre 0 e 50 km de altitude em uma coluna com área de seção reta de 5 m².
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como:
  • Frações molares: a proporção de cada componente em uma mistura de gases.
  • Lei dos Gases Ideais: relaciona pressão, volume, temperatura e quantidade de matéria.
  • Gradiente de pressão na atmosfera: como a pressão varia com a altitude devido ao campo gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a pressão parcial do nitrogênio na mistura. A pressão parcial de um gás em uma mistura é dada pela fração molar desse gás multiplicada pela pressão total da mistura.
PN2 = XN2 times Ptotal
Onde:
  • $ P_{N_2} $ é a pressão parcial do nitrogênio.
  • $ X_{N_2} = 0,600 $ é a fração molar do nitrogênio.
  • $ P_{total} = 1 , atm $ é a pressão total da mistura.
Substituindo os valores:
PN2

Passo 3

Agora, vamos relacionar a pressão parcial do nitrogênio com o número de moles usando a Lei dos Gases Ideais. A fórmula da Lei dos Gases Ideais é:
PV = nRT
Onde:
  • $ P $ é a pressão.
  • $ V $ é o volume.
  • $ n $ é o número de moles.
  • $ R $ é a constante dos gases ideais ($ R = 0,0821 , L·atm/mol·K $).
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin.
Queremos encontrar $ n $, então rearranjamos a equação:
P

Passo 4

Precisamos agora relacionar o volume com a altitude. Considerando a coluna de ar de área $ A = 5 , m^2 $ e altura $ h = 50 , km $, o volume $ V $ é dado por:
A = 5 , m^2
Convertendo 50 km para metros:
h = 50 , km
Então:
V

Passo 5

Agora, precisamos ajustar a pressão para considerar a variação com a altitude. A pressão atmosférica diminui com o aumento da altitude devido à gravidade. Para simplificar, vamos assumir que a pressão varia exponencialmente com a altitude, conforme a seguinte fórmula:
P(z) = P0 times e^-MgzRT
Onde:
  • $ P(z) $ é a pressão a uma altitude $ z $.
  • $ P_0 = 1 , atm $ é a pressão ao nível do mar.
  • $ M $ é a massa molar do nitrogênio ($ 0,0280 , kg/mol $).
  • $ g = 9,81 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade.
  • $ R = 8,314 , J/mol·K $ é a constante dos gases ideais.
  • $ T = 300 , K $ é a temperatura.
Integrando essa expressão de pressão ao longo da altura, podemos encontrar o número total de moles de nitrogênio na coluna.

Passo 6

A quantidade de moles $ n $ pode ser obtida integrando a expressão da pressão parcial sobre a altura:
n
Substituindo $ P(z) $:
n = integral0^h P(z) times ART , dz

Passo 7

Calculando a integral:
n = P0 times ART times integral0^50 times 10^3 e^-MgzRT , dz
Resolvendo a integral:
integral e^-kz , dz = -1k e^-kz
Onde $ k = \frac{Mg}{RT} $.
Então:
k = MgRT
Simplificando:
n = P0 times ART times ( -1k e^-kz ) g|0^50 times 10^3
Cancelando $ RT $:
n = P0 times ART times RTMg ( 1 - e^-Mg times 50 times 10^3RT )

Passo 8

Substituindo os valores numéricos:
P0 = 1 , atm = 101325 , Pa
A = 5 , m^2
M = 0,0280 , kg/mol
g = 9,81 , m/s^2
R = 8,314 , J/mol·K
T = 300 , K
h = 50 times 10^3 , m
Calculando o expoente:
Mg times hRT = 0,0280 times 9,81 times 50 times 10^38,314 times 300
= 0,0280 times 9,81 times 50 times 10^32494,2
= 13,7342494,2 approx 5,506
Então:
n = 101325 times 50,0280 times 9,81 ( 1 - e^-5,506 )
Calculando $ e^{-5,506} $:
e^-5,506
Então:
e^-5,506 approx 0,00406
n = 5066250,27468 times (1 - 0,00406)

Resposta

O número de moles de nitrogênio entre 0 e 50 km de altitude na coluna de 5 m² é aproximadamente $ 1,84 \times 10^{6} , mol $.

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