Considere uma coluna isotérmica de um gás ideal a 25^circ C. Qual deve ser a massa molar deste gás a a) 10 km , b) 1 km e c) 1 m , se a sua pressão é 0,80 da pressão no solo? d) Que tipo de moléculas possuem massas molares da grandeza encontrada em c)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma coluna isotérmica de um gás ideal a 25^circ C. A pergunta é para encontrar a massa molar desse gás em diferentes alturas (10 km, 1 km e 1 m) sabendo que a pressão nessas alturas é 0,80 da pressão no solo. Também vamos descobrir que tipo de moléculas têm uma massa molar da ordem que encontramos no item c). Para resolver isso, vamos precisar usar a lei dos gases ideais e a equação barométrica, que relaciona a pressão com a altura em uma atmosfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação barométrica para uma atmosfera isotérmica (temperatura constante):
P = P0 , e^-M g hR T
Onde:
  • P é a pressão em uma altura h,
  • P0 é a pressão no solo,
  • M é a massa molar do gás,
  • g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 , m/s^2),
  • R é a constante dos gases ideais ( 8,314 , J/(mol·K)),
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin.
Nosso objetivo é encontrar M, então vamos reorganizar a equação para isolá-lo.

Passo 3

Vamos dividir os dois lados da equação por P0:
PP0 = e^-M g hR T
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para eliminar o exponencial:
ln(PP0) = -M g hR T
Isolando M:
M = -R T ln(PP0)g h

Passo 4

Sabemos que PP0 = 0,80, então:
M = -R T ln(0,80)g h
Vamos calcular essa expressão para cada altura pedida.

Passo 5

Primeiro, convertemos a temperatura para Kelvin:
T = 25^circ C = 25 + 273,15 = 298,15 , K
Agora, vamos calcular ln(0,80):
ln(0,80) approx -0,2231

Passo 6

Agora, substituímos os valores na equação para cada altura.
a) Para h = 10 , km = 10,000 , m:
M = -8,314 times 298,15 times (-0,2231)9,81 times 10,000
Calculando:
M approx 8,314 times 298,15 times 0,22319,81 times 10,000 approx 552,8898,100 approx 0,00564 , kg/mol = 5,64 , g/mol
b) Para h = 1 , km = 1,000 , m:
M = -8,314 times 298,15 times (-0,2231)9,81 times 1,000
Calculando:
M approx 8,314 times 298,15 times 0,22319,81 times 1,000 approx 552,889,810 approx 0,0564 , kg/mol = 56,4 , g/mol
c) Para h = 1 , m:
M = -8,314 times 298,15 times (-0,2231)9,81 times 1
Calculando:
M approx 8,314 times 298,15 times 0,22319,81 approx 552,889,81 approx 56,37 , kg/mol = 56,370 , g/mol

Resposta

a) A massa molar é aproximadamente 5,64 , g/mol.
b) A massa molar é aproximadamente 56,4 , g/mol.
c) A massa molar é aproximadamente 56,370 , g/mol.
d) Moléculas com massas molares da ordem de 56,370 , g/mol são extremamente grandes e não comuns na natureza. Tais massas são típicas de macromoléculas como proteínas grandes ou polímeros sintéticos, mas não de moléculas gasosas simples.

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