[4.11] Escreva a Energia Interna como sendo função de
e
e derive as seguintes equações:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
O exercício pede para escrever a energia interna U como função das variáveis de pressão P e volume V e daí obter (a) a expressão de đQ em termos de dP e dV, (b) o valor de
e © o valor de
. Vamos usar o primeiro princípio da termodinâmica, definições de capacidades térmicas e os coeficientes termodinâmicos isobárico
e isotérmico
.
Passo 2
Começamos lembrando que, como U é função de P e V, seu diferencial é
Pelo primeiro princípio temos
. Substituindo dU acima obtém-se
que é exatamente a parte (a).
Passo 3
Para (b), note que em variáveis naturais (T,V) vale
. Usando a regra da cadeia em
. Agora, da expansão diferencial de V(P,T)
em que definimos
e
. A variação a V constante (
) dá
Logo
que é (b).
Passo 4
Para ©, usamos a forma de dU em (T,V), obtida a partir de dU=TdS−PdV e da relação de Maxwell
. Isso leva a
Em P constante,
, aplicamos cadeia em T e V:
De modo análogo ao item (b), de
a P constante vem
. E usamos a identidade termodinâmica
que pode ser reescrita como
Substituindo obtém-se
que é o resultado pedido em ©.
Resposta
(a)
;
(b) ;
© .
(b)
©